Le serie spettrali e la teoria di Bohr

Le serie spettrali e la teoria di Bohr

Fin dai primi studi sugli spettri luminosi, i fisici si accorsero che, nonostante l'apparente disordine, esiste una certa regolarità nella distribuzione delle righe spettrali degli elementi. Nel 1885 Johann Balmer fig.(6-b) scoprì che le lunghezze d'onda delle righe dello spettro visibile dell'idrogeno potevano essere espresse mediante una semplice formula, nella quale le successive lunghezze d'onda delle righe spettrali si ottengono dando ad una variabile valori interi, dal numero 3 in poi. Incoraggiati dal successo di Balmer sempre più fisici incominciarono ad approfondire gli studi circa le righe spettrali emesse dall'idrogeno e si arrivò a fornire leggi, simili in tutto e per tutto a quella di Balmer, che descrivessero le righe spettrali nell'ultravioletto, serie di Lyman, e nell'infrarosso, serie di Paschen e di Blackett. La formula di Balmer è qui riportata:

dove è la frequenza della riga spettrale e n è un numero intero maggiore di 2, c è la velocità della luce nel vuoto e è una costante il cui valore è .

Generalizzando e considerando anche le serie dell'ultravioletto e dell'infrarosso, le frequenze delle diverse onde elettromagnetiche emesse dall'idrogeno sono calcolabili mediante la formula:

dove m e n sono numeri interi positivi con . Nel caso di m=2 si ritrova la serie di Balmer, con m=1 si identifica la serie di Lyman per l'ultravioletto, con m=3 la serie di Paschen e con m=4 la serie di Blackett per l'infrarosso. Ai tempi di Balmer non era affatto chiaro perché a un determinato elemento dovesse corrispondere un ben preciso spettro di emissione. Inoltre la questione divenne sempre più complessa quando, sulla base dell'esperimento di Rutherford, fu proposto il modello atomico planetario. Infatti in tal caso gli elettroni risentirebbero di un'accelerazione centripeta , e quindi, secondo la teoria di Maxwell, una carica accelerata emette sempre energia sotto forma di onde elettromagnetiche. Ciò comporta due problemi:

l'emissione continua di energia dovrebbe portare gli elettroni ad avvicinarsi sempre di più al nucleo, descrivendo una traiettoria a spirale, fino a giungere su di esso in un intervallo di tempo dell'ordine di .

Durante il movimento a spirale, le onde elettromagnetiche emesse dovrebbero avere uno spettro continuo, cioè dovrebbero contenere tutte le frequenze comprese tra un valore minimo e uno massimo.

La prima di queste due conclusioni è in palese contrasto con dati osservativi ovvi secondo cui gli atomi, in primo luogo sono del tutto stabili e non collassano in  e, in secondo luogo, quando non sono "disturbati" non emettono onde elettromagnetiche. La seconda deduzione non è in alcun modo compatibile con l'osservazione degli spettri di emissione a righe, ben diversi da spettri continui. Siamo nuovamente di fronte a una difficoltà delle teorie fisiche classiche, a dare una prima risposta a questo problema fu il fisico danese Niels Bohr fig.(23-b). Bisognava o rinunciare al modello per salvaguardare i principi della fisica classica o abbandonare la fisica classica e cercare in altre teorie fisiche la giustificazione del modello: Bohr intraprese quest'ultima strada. Lo scienziato di Copenaghen intravide la possibilità nello stesso tempo di salvare la stabilità dell'atomo planetario di Rutherford e di interpretare i fatti spettroscopici sulla base della teoria dei quanti, che a priori esclude la possibilità di un emissione continua. Riportiamo qui di seguito le esatte parole di Bohr:

"Nella forma sotto la quale noi faremo uso in ciò che segue della teoria dei quanti, noi fonderemo le nostre considerazioni sul seguente postulato fondamentale: un sistema atomico che emette uno spettro continuo di righe nitide può prendere un certo numero di stati distinti, che chiameremo stati stazionari; il sistema può esistere in un tale stato almeno durante qualche tempo, senza emettere radiazione, l'emissione avendo luogo soltanto attraverso un processo di transizione completa tra due stati stazionari: e allora la radiazione si compone sempre di un treno d'onde armoniche semplici. Nella teoria la frequenza della radiazione emessa durante un processo di questa specie non è determinata direttamente dal movimento degli elettroni nell'atomo nella maniera che corrisponde alle idee della teoria classica dell'elettromagnetismo; la frequenza, invece, è semplicemente legata alla quantità totale di energia emessa durante il passaggio, essendo:

con ed le energie possedute dalle orbite nei due stadi interessati al processo."

In sostanza, dunque, l'elettrone rotante intorno al nucleo obbedisce a tutte le leggi meccaniche della fisica classica ma non alle leggi elettromagnetiche, nel senso che durante la rotazione non emette radiazione. Con la meccanica classica si può perciò trattare l'equilibrio dinamico del sistema in uno stato stazionario, e calcolare, noto il raggio dell'orbita, la velocità, la frequenza, l'energia potenziale, cinetica e totale dell'elettrone rotante:

secondo la previsione classica l'energia totale risulta:

A questo punto Bohr introdusse una condizione di quantizzazione del raggio orbitale r, in modo tale che le orbite in cui è presente l'elettrone siano solo quelle permesse dal determinato stato energetico del sistema. Consideriamo un elettrone che percorre un orbita descritta dal cammino orientato e definiamo un campo vettoriale, associando ad ogni punto di il vettore quantità di moto che l'elettrone possiede in quel punto. Secondo Bohr sono permesse soltanto le orbite per le quali vale la condizione di quantizzazione:

dove è la circuitazione di lungo , h è la costante di Planck e n è un numero intero positivo denominato numero quantico principale dell'orbita. Possiamo esplicare la (169) dividendo in M parti, di eguale lunghezza e praticamente rettilinee, descritte dai vettori :

Dal momento che il vettore velocità istantanea di un punto materiale è sempre tangente alla traiettoria che esso descrive, l'angolo tra i vettori e è sempre uguale a zero. In tal modo la (170) si riduce a:

Questa condizione di quantizzazione è generale ma noi, dal punto di vista matematico, siamo in grado di trattare soltanto le orbite circolari descritte dall'elettrone attorno al nucleo. In questo caso si ha una notevole semplificazione perché il modulo della quantità di moto è costante e uguale al prodotto dove è la massa dell'elettrone e v la sua velocità. Otteniamo così:

svolgendo il suddetto limite:

Siamo giunti in questo modo a quantizzare il momento angolare:

Applicando tale quantizzazione alle formule classiche sopra citate otteniamo il raggio delle orbite permesse:

e una nuova formula per l'energia posseduta da ciascuna orbita:

In conformità a questi principi Bohr riuscì a dare una giustificazione dello spettro discontinuo dell'atomo di idrogeno, infatti, secondo lui, un elettrone che percorre un orbita permessa non irraggia. Tuttavia, poiché un gas attraversato da corrente elettrica emette luce, dobbiamo chiederci come avvenga l'emissione dei fotoni da parte degli atomi. Bohr postulò che un fotone è emesso (irradiato) da un atomo, quando un suo elettrone passa da un orbita permessa di energia maggiore ad un'altra orbita permessa di energia minore. Nel caso dell'atomo di idrogeno il suo unico elettrone può ricevere energia dall'esterno, per esempio mediante un urto, e passare (se vi è posto libero) a un'orbita di numero quantico con energia maggiore di quella iniziale. In tale caso l'atomo si trova in uno stato eccitato, instabile. Così, dopo un intervallo di tempo che può essere anche molto breve l'elettrone salta su un'orbita di numero quantico (con ) la cui energia è minore di . La differenza di energia sarà dunque:

è liberata sottoforma di un fotone di frequenza:

Infine ponendo si ritrova la (165) che è così ricavata partendo dalle ipotesi di Bohr.