Il doppio

Dentro e fuori la mente

Introduzione

Crediamo di essere individui unici ma di noi esistono molti doppi: siamo come le sfaccettature di un diamante, ogni sua faccia separata dalla precedente, e siamo molte persone racchiuse nello stesso corpo. Questa tesi era sostenuta anche negli scritti di Pirandello, soprattutto nel romanzo Uno nessuno e centomila, dove a partire da un piccolo difetto, il protagonista comincia a riflettere sull'eventualità di non essere tanto unico in quanto i suoi conoscenti lo vedevano ognuno in modo diverso come se esistessero tante copie di lui con il medesimo volto, ma con caratteri diversi.

Si tratta di una divisione vera e propria, contrastante, all'interno della nostra psiche, così come è evidente in The strange case of Dr Jekyll e Mr Hyde, accade come in una medaglia: la stessa ha sempre due facce diverse.

Il doppio può essere all'interno di uno stesso individuo, oppure può essere un duplicato fisico, un clone, scientificamente parlando. Le possibilità della clonazione sono appunto di creare un individuo geneticamente identico a quello di partenza. Per quanto riguarda l'uomo si è posto un freno alla possibilità di sviluppo di tali esperimenti, in quanto scende in campo la morale etica, tuttavia per quanto riguarda il settore zootecnico gli scienziati si sono applicati in clonazione di animali che poi sarebbero diventati famosi, come la celebre pecora Dolly, oppure la cavalla Prometea.

Anche scostandoci dall'individuo in sé e per sé possiamo notare, tramite l'applicazione dei frattali, come anche nella natura si possa applicare questa legge del doppio: alcuni esempi pratici possono essere la struttura di una foglia o anche il fiocco di neve, che possono sembrarci unici invece non sono altro che infinite replicazioni di uno stesso piccolo singolo che a noi ci appare come unico.

Luigi Pirandello e le maschere

Riconoscete anche voi ora, che un minuto fa voi eravate un altro?

(Pirandello)

Luigi Pirandello nasce in Sicilia ad Agrigento il 28 giugno del 1867. Fu influenzato da diversi ambienti per quanto riguarda la sua formazione psicologica e culturale.

L'ambiente siciliano contribuisce a determinare la fisonomia psicologica, ma anche quella sociale e politica dello scrittore. Pirandello è educato al patriottismo a livello famigliare, e al culto dei valori risorgimentali, che non abbandonerà mai. È importante anche osservare come la sua famiglia, nonostante la situazione economica e sociale fosse di una certa agiatezza, tale situazione rimane comunque precaria e segnata dall'instabilità. Pirandello mantiene sempre una distanza affettiva con il proprio padre, una distanza che compare anche nei suoi romanzi, dove non viene accettato dal padre, per esempio, il senso degli affari o la capacità di decidere o ancora la disinvoltura nel mondo della pratica quotidiana proprie del figlio; questo aspetto è evidente nel romanzo Uno, nessuno e centomila così come anche ne Il fu Mattia Pascal.

A Roma fu studente di Lettere e questo ambiente lo mise in contatto con Capuana che contribuì a far maturare in lui la vocazione letteraria; a seguito di un litigio con un docente finì di laurearsi a Bonn dove venne a contatto con letture di autori (Goethe, Heine, forse anche Schopenhauer e Nietzsche) che lo influenzarono in modo decisivo.

Successivamente, tornato in Italia, conobbe un periodo difficile, dovuto alla rovina economica e alla malattia mentale della moglie.

Dopo il periodo della narrativa umoristica in cui scrive Il Fu Mattia Pascal, alcuni saggi raccolti poi nel libro L'umorismo e dopo quella che può essere definita la fase del teatro umoristico, giunge infine alla stagione del surrealismo con la pubblicazione del romanzo Uno, nessuno e Centomila, che esprime una sorta di mistica fiducia nella natura, che segna un significativo rinnovamento. In effetti non vi è più la rassegnazione di una vita da personaggio, bensì una vita vissuta da persona che si immedesima nei diversi aspetti della natura, un messaggio quindi positivo.

È importante evidenziare il contrasto tra forma e vita che Pirandello teorizza: vi è un netto contrasto tra la forma e la vita, così come vi è tra personaggio e persona; questi non sono termini complementari, ma bensì profonde contraddizioni. L'uomo per vivere e relazionarsi con gli altri ha bisogno di autoinganni, perciò organizza la propria vita intorno a questi inganni, rafforzati da convinzioni, riti ed istituzioni, un confine entro cui svilupparsi: una forma. Tuttavia tale stato è negativo in quanto  blocca la spinta anarchica delle pulsioni vitali, e quindi la tendenza a vivere momento per momento al di fuori di ogni scopo ideale e di ogni legge civile: la forma paralizza la vita.

Succede allora che il soggetto, costretto a vivere nella forma, non sia più una persona integra, coerente e compatta, fondata sulla corrispondenza armonica tra desideri e realizzazione, passione e ragione, ma si riduce ad un personaggio, una maschera che recita la parte che la società esige da lui e che egli stesso si impone attraverso i propri ideali morali.

Tutti gli uomini sono maschere, questo è il concetto largamente discusso nel romanzo Uno, nessuno e centomila:

Trama

Vitangelo Moscarda, dalla banale constatazione che il naso che egli vede in un certo modo, è diverso da quello che sua moglie gli riconosce, inizia un viaggio all'interno e al di fuori di sé. Vitangelo si rende conto che gli altri lo vedono in una maniera diversa da come lui stesso crede di essere. Non esiste solo un Vitangelo Moscarda, ma ne esistono tanti quanti sono gli esseri umani con i quali stabilisce anche una minima e fugace relazione. Non esiste un io autentico e oggettivo. Scoprire di non essere per gli altri quell'Uno che crede di essere per sé accende in lui il desiderio di distruggere queste forme a lui estranee per scoprire il vero sé. Tenta di distruggere le errate convinzioni della gente, a cominciare da quelle della moglie. Ma Vitangelo non è nemmeno sicuro di conoscere come sia realmente. Alla fine riuscirà nel suo intento distruggendo tutte le maschere a lui associate e diventando Nessuno, identificandosi solo con le mutevoli forme e infiniti esseri della natura.

Analisi

Il protagonista, in questo romanzo, comprende che esiste un doppio di se stesso, e che quel clone si trova all'interno del suo stesso corpo, anzi è lui ad abitare quel corpo che non riconosce allo specchio.

Comprende di essere una maschera, non una sola, ma centomila diverse quante sono le persone che lo conoscono, infiniti duplicati di quel Moscarda che tutti vedono e conoscono attraverso maschere ben definite, attraverso la copia del duplicato che conoscono.

Ma cosa accade quando Vitangelo Moscarda decide di far decadere ad una ad una le sue maschere? La gente lo crede pazzo, perché convinta che possa esistere un solo Vitangelo Moscarda, che ha quel viso e quel corpo e quel preciso comportamento. La gente intorno a lui non prende in considerazione l'idea che quel viso e quel corpo possano essere associati altri comportamenti diversi da quelli conosciuti.

L'individuo, Vitangelo, è unico e solo. Non viene ammesso in sostanza un doppio, l'esistenza di qualcun altro con lo stesso aspetto ma con carattere completamente diverso. Tuttavia Pirandello con una forte argomentazione, elaborata attraverso la narrazione in prima persona da Vitangelo nel romanzo, dimostra che non è affatto così: l'individuo non è uno, ma centomila, ed essendo tante persone diverse alla fine si riduce a non essere nessuno.

Ma come porre fine a questo circolo vizioso di infinite maschere che si susseguano e si frammentano moltiplicandosi ad ogni respiro?

Lentamente, riflettendo, si arriva a comprendere come il personaggio si guardi vivere, condannato ad essere estraneo alla propria vita. Questo distacco , riflessivo, amaro, pietoso e allo stesso tempo ironico, è il segno distintivo dell'umorismo.

L'umorismo differisce dalla comicità: la comicità deriva da un immediato avvertimento del contrario e ciò scatena il riso; l'umorismo invece è il sentimento del contrario che nasce dalla riflessione sulle ragioni per cui una persona o una situazione sono l'opposto di come dovrebbero essere, al riso subentra il sentimento amaro della pietà.

Vitangelo Moscarda alla fine del romanzo scopre la sua vita nel rifiuto della forma e nell'adesione dell'istinto naturale. Per liberarsi dalla forma infatti bisogna che tutte le maschere decadano, e perciò è necessario diventare "nessuno", dissolvendo tutte le maschere che la società gli attribuisce. E l'unico modo per vivere al di fuori della forma è abbandonare tutto e trovare una corrispondenza profonda nella natura, immedesimandosi in ogni sua forma mutevole.

The strange case of Dr Jekyll and Mr Hyde

The strange case of Dr Jekyll and Mr Hyde is a short novel written by Robert Louis Stevenson and first published in 1886. It is set in 19th century London and tells the story of the respectable Dr Jekyll and his curious relationship with the violent and detestable Mr. Hyde.

Plot

The story begins with the description of one of the main characters, Mr. Utterson, a well-known London's lawyer. One day Mr. Utterson and his cousin Mr. Enfield were taking their afternoon walk. They entered a dark, narrow street and came upon a gloomy building with only a door in it and no windows.

That sight reminded to the latter a terrible scene he witnessed no longer before. He was going home at three o'clock in the morning when he suddenly saw two people: a little girl who was running as fast as she could and a man who was walking quickly ahead of him. Then a terrible thing happened: the man just stepped on the child who was fallen down. Mr. Enfield saw it, ran after the man and caught him.

The family of the injured girl wanted money from him for not telling that story to everyone and for not discredit him, so he accepted. The man took them to that building, went in by that door and soon came back with a cheque, which was signed with a well-known name. The stranger told them that his name was Hyde and Mr. Enfield didn't trust him, but when they went together to the bank for the money the signature was perfectly good.

When he ended the story, Mr. Utterson understood that there was a connection between Mr. Hyde and Dr. Jekyll, his friend and client, because that building was in fact a wing of his house, serving as laboratory.

Back home he reread Dr. Jekyll's will, of which he took charge when it had been made, and discovered that Mr. Hyde was his only heir, also in case of Dr. Jekyll's "disappearance or unexplained absence". Mr. Utterson decided to investigate, so he went to Dr. Lanyon, a friend of him, but he couldn't give him any useful information.

A year later, another strange fact happened: an old respectable man, Sir Danvers Crew, was found beaten to death in an alley near the river. Moreover, thanks to the testimony of a servant girl who saw the murder from a window, Mr. Hyde was accused of having committed that horrible crime. Mr. Utterson wanted to find out the truth and went together with a police inspector to Mr. Hyde's house, in Soho. There they found the other half of the stick, because one part laid beside the body of the dead man, and also a half-burnt chequebook: finally, their suspicions were confirmed.

A few days later Mr.Utterson went to Dr .Jekyll to pay him a visit and his friend looked weak and ill. He told him that he had received a letter from Mr. Hyde, who had planned to kill him. Mr.Utterson went back home, took the letter with him and discovered that that was the same handwriting of Dr Jekyll.

Another few months passed. One day he met Dr Lanyon again, who was very ill, and he told him that he was in that condition because of Dr. Jekyll, but he didn't want to add anything more. In fact, after a few weeks he died and left to Mr. Utterson an envelope, which hadn't to be opened until the death or disappearance of Dr Jekyll.

Time passed. Mr.Utterson tried hard to see his friend, but he always refused and he was really worried about this fact. One night Dr Jekyll's butler went to him: he was in despair, because his master locked himself in his laboratory a week before and kept ordering certain chemicals, and some strange cries and animal sounds came from there. Mr.Utterson also thought that that situation was too strange, so they decided to take action. After breaking into Dr.Jekyll's laboratory, they found Mr. Hyde lying dead on the floor: he had taken a poison to kill himself. There was no trace of his friend, so they thought that probably Mr. Hyde murdered him because of receiving the money of his will, but Mr. Utterson found some letters addressed to him and a new will of which he was the only heir.

The story ends with two letters. The first is Dr. Lanyon's letter, in which there is described a terrible secret of unimaginable horror: in fact, he saw Mr. Hyde transforming himself into Dr. Jekyll, and this event was so shocking that led him to illness. The second letter is Dr. Jekyll's confession, which explains the reasons why he began taking the liquid that changed him into Mr. Hyde and the final uncontrollable effects of that terrible experiment.

Analysis

Stevenson had long been interested in the idea of the duality of human nature and how to show the interplay of good and evil into a story.

The novel is considered a classic of Victorian literature and a impressive and meaningful allegory on the duality of human nature, and in most English speaking nations, Dr. Jekyll and Mr. Hyde are familiar literary figures. Psychologists often use the story to illustrate the symptoms of dual personality disorder; Dr. Jekyll is the original, or neutral personality, while Mr. Hyde is a secondary and evil personality.

Paradoxically, evil is actually committed in an effort to extinguish the perceived evil that has been projected onto the innocent victims. In Freudian Theory the thoughts and desires banished from the mind unconscious motivate the behaviour of the conscious mind. If someone banishes all evil to the unconscious in an attempt to be wholly and completely good, this can result in the development of a Mr. Hyde-type aspect for that person's character. This failure to accept the tension of duality is related to Christian theology where Satan's fall from Heaven is due to his refusal to accept that he is a created being (that he has a dual nature) and is not God. This is why in Christian Religion of pride (to consider oneself as without sin or without evil) is the greatest sin as it is the precursor of evil itself, which also explains the Christian concept of evil hiding in the light.

According to the theme and message that come out in this story, that a separation inside an individual could exist and that it produces two "separate beings".

Clonazione

Il doppio non è soltanto da considerarsi a livello interiore o psicologico, bensì può trattarsi di un doppio fisico, di un clone. Di fatto la clonazione sembrerebbe rompere il complesso dell'unicità dell'individuo. Tuttavia il comportamento, la personalità ed alcune carat-teristiche fisiche sono altamente influenzabili dall'ambiente, di fatto è solo un clone genetico.

Clonare un organismo vuol dire creare ex-novo un essere vivente che possiede le stesse informazioni genetiche dell'organismo di partenza. Il processo che portò lo sviluppo delle tecniche di clonazione fu lungo e tortuoso, si andò affermandosi solo grazie allo sviluppo delle tecniche scientifiche.

Inizialmente venne dato un contributo teorico per quanto riguarda la clonazione: Agust Weissman (1834-1914) per primo postulò che durante la moltiplicazione cellulare le cellule somatiche si differenziano a formare i diversi organi e strutture che compongono l'intero corpo; viceversa le cellule germinali mantengono l'informazione ereditaria che verrà tramandata da generazione in generazione.

Studi successivi, condotti dagli embriologi Hans Driesch e Hans Spemann arrivarono a chiarire i momenti, durante lo sviluppo embrionale, in cui la via differenziativa assumeva caratteristiche irreversibili. In particolare Hans Spemann eseguì esperimenti volti a dimostrare che l'embrione subiva un processo differenziativo irreversibile da un certo stadio in poi. Rimaneva però irrisolto il problema che tale differenziamento fosse un processo terminale o piuttosto la cellula differenziata poteva essere riprogrammata.

A questo proposito Spemann suggerì di prelevare il nucleo da una cellula di un embrione in fase avanzata di sviluppo, o da un individuo adulto e trasferirlo nel citoplasma di una cellula uovo enucleata, privata cioè del proprio nucleo, insieme con il corredo genetico, propose in sintesi un trasferimento cellulare per verificare effettivamente se una cellula differenziata fosse in grado di riprogrammare l'informazione espressa e controllare quindi lo sviluppo embrionale. Tuttavia lo scienziato non fu in grado di condurre l'esperimento a causa della mancanza di strumentazioni adeguate.

I primi trasferimenti di nucleo

Nel 1952 due ricercatori americani Robert Briggs e Tom King, utilizzando una pipetta di vetro molto sottile, riuscirono ad estrarre il nucleo da una cellula di embrione di una rana allo stadio di blastula e lo trasferirono in una cellula uovo enucleata. L'embrione così ottenuto raggiunse lo stadio di girino, ma non fu in grado di raggiungere lo stadio adulto.

Pur non ottenendo un completo successo dall'esperimento, grazie ai due ricercatori americani furono gettate le basi sperimentali che avrebbero poi condotto al perfe-zionamento delle tecniche di clonazione.

Un ulteriore passo avanti avvenne grazie a John Gurdon, che pubblicò un lavoro in cui, usando la metodologia di Briggs e King, dimostrava di aver ottenuto lo sviluppo di un embrione, generato dal trasferimento del nucleo di una cellula diffe-renziata prelevata dall'intestino di un girino Xenopus laevis in un ovocita enucleato, fino al completamento dello stadio larvale.

Gurdon aveva dimostrato che i nuclei di cellule somatiche differenziate, trasferiti nel citoplasma di una cellula uovo enucleata, sono in grado di modificare il loro programma genetico fino ad assumerne uno nuovo, di tipo embrionale, e quindi sono capaci di iniziare e proseguire lo sviluppo larvale.

Lo scienziato riuscì anche ad ottenere alcuni individui che divennero adulti e fertili, tuttavia i suoi sperimenti furono criticati da Briggs e King i quali sostennero che le cellule di girino potevano essere contaminate da cellule germinali che migrano e spesso sostano attraverso l'intestino, inoltre non si poteva con certezza affermare che le cellule di un girino così giovane fossero sicuramente differenziate.

Nel 1981 gli scienziati Hoppe e Illmensee, pubblicarono un articolo in cui riferirono di avere ottenuto alcuni topolini in seguito al trasferimento di nuclei embrionali.

Venne dimostrato in questo modo che era possibile la clonazione di mammiferi, tuttavia ogni esperimento successivo di clonazione di mammiferi fu fallimentare, al punto da essere considerata biologicamente impossibile.

La grande rivoluzione nel campo della clonazione avvenne nel 1996 quando il gruppo diretto da Ian Wilmut clonò la celebre pecora Dolly.

Analisi dell'esperimento

Per realizzare l'esperimento vennero utilizzate tre pecore di razze diverse: dalla prima pecora, una Finn Dorset, venne prelevata una cellula somatica dalla ghiandola mammaria, una seconda pecora donatrice di una cellula uovo e infine una terza pecora di razza scottish Blackface come madre surrogata.

Dopo aver prelevato alcune cellule dalla ghiandola mammaria di un pecora Finn Dorset, tali cellule vennero coltivate in modo da continuare il normale ciclo di crescita, successivamente vennero portate in uno stato di quiescenza e messe a coltura in un terreno privo di alcuni nutrienti al fine di rallentare la divisione cellulare e bloccare le cellule allo stato G0, in modo che esse arrestino il proprio ciclo cellulare. Le cellule furono poi incubate in un terreno contenente il virus Sendai, che legandosi alla membrana plasmatica facilitava, dopo il trasferimento nello spazio perivitellino dell'oocita, la fusione con l'oocita.

Venne quindi prelevata una cellula uovo da una seconda pecora, di  razza diversa dalla prima da qui era stata prelevata la cellula somatica, che venne enucleato al fine di poter introdurre la cellula somatica trattata in precedenza.

Avvenne poi la fusione tra la cellula somatica e la cellula uovo enucleata in modo tale che il materiale genetico entrasse nella cellula uovo, tale processo fu favorito da pulsazioni elettriche, altre scariche elettriche favorirono l'attivazione del nucleo e favorirono l'inizio della divisione cellulare. Gli embrioni così ottenuti vennero impiantati nell'utero di pecore Blackface.

Nell'esperimento dei ricercatori scozzesi furono trasferite 277 cellule somatiche in altrettanti oociti, di questi solo 29 si svilupparono fino allo stadio di morula/blastociti e vennero poi trasferiti nell'utero di 13 femmine, solo una però completò lo sviluppo fino alla nascita di un agnellino, la famosa Dolly, di razza Finn Dorset, la stessa della pecora da cui erano state prelevate le cellule somatiche.

Successivamente furono clonati molti altri individui come ad esempio il toro Galileo e la cavalla avelignese Prometea, clonati l ricercatore italiano Cesare Galli. È interessante il caso di Prometea: i ricercatori del gruppo di Galli hanno seguito una tecnica innovativa, nella quale la zona pellucida che avvolge l'ovocita e' stata rimossa per facilitare la fusione della cellula uovo con il nucleo della cellula somatica. Inoltre si e' voluta percorrere una via rispettosa della salute degli animali. Gli ovociti utilizzati nell'esperimento sono stati infatti prelevati da animali destinati al macello e, una volta eseguito il trasferimento nucleare, sono stati fatti sviluppare fino allo stadio di un centinaio di cellule (blastocisti), il primo nucleo dell'embrione. Gli embrioni così ottenuti sono stati quindi trasferiti in utero con una tecnica non invasiva, per via trans-cervicale.

Per ottenere il primo clone di un cavallo sono state utilizzate due linee cellulari a partire dalle cellule della cute di un maschio adulto di purosangue arabo e di una femmina avelignese. Dalla linea cellulare ottenuta a partire dalla pelle del purosangue arabo sono stati eseguiti 513 trasferimenti nucleari in altrettanti ovociti. Da questi si sono formati 8 embrioni (trasferiti in 4 riceventi) dai quali si sono avute 2 gravidanze, che però non sono giunte a termine. Con la seconda linea cellulare, quella derivata dalla femmina avelignese, si sono eseguiti 328 trasferimenti nucleari, da cui si sono sviluppati 14 embrioni. Di questi, 9 sono stati trasferiti in utero in 5 riceventi e sono state ottenute 2 gravidanze, delle quali una e' giunta a termine.

E' avvenuto per caso che la cavalla che ha portato a termine la gravidanza fosse anche la donatrice della cellula adulta utilizzata nel trasferimento nucleare. Praticamente la puledra che ha partorito è nata da una cellula della sua pelle. 'E' un risultato molto interessante e che abbiamo ottenuto casualmente -ha detto Galli- ma adesso apre nuove prospettive nello studio dell'immunità nella gravidanza'. Il risultato che abbiamo ottenuto, prosegue il ricercatore, 'mette in discussione le teorie sul mantenimento della gravidanza, secondo le quali era necessario che il feto venisse riconosciuto come estraneo'.

Le prime critiche alla clonazione furono fatte a seguito della notizia che Dolly avesse sviluppato una forma precoce d'artrite, a soli cinque anni dalla sua nascita, si pensò di fatto che tale eventualità fosse possibile in quanto la pecora che aveva donato le cellule somatiche aveva già 6 anni, quindi l'età effettiva del clone sarebbe potuta essere di 11 anni. Tuttavia ipotesi successive hanno aperto nuove strade sostenendo che l'artrite precoce potesse essersi sviluppata a seguito della rottura di una zampa, per esempio se si fosse incastrata nel recinto. Inoltre Dolly è stata soppressa nel 2003 per complicazioni di polmonite. Venne puntato il dito, quelle circostanze furono attribuite semplicemente al fatto che Dolly fosse un clone, tuttavia può succedere che una normale pecora si ammali.

Queste teorie sono state di fatto confutate dagli altri cloni che sono nati e sono attualmente in buona salute, Prometea, nata nel 2003, è in perfetta salute, fertile ed è stata anche utilizzata per partorire cloni di altri cavalli.

I problemi principali riguardanti la clonazione sono soprattutto etici: si pensa che dopo la clonazione animale di possa arrivare a quella dell'uomo, tenderebbe a sparire quindi l'unicità dell'individuo. Si teme anche di poter portare in vita personalità come Hitler e questo fa aumentare lo scetticismo, tuttavia basti pensare hai gemelli, pur essendo geneticamente identici e anche nell'aspetto essi non possiedono la stessa personalità, allo stesso modo non è dimostrabile che un clone possa avere gli stessi aspetti caratteriali dell'originale.

Tuttavia, ciò che ci spaventa è perdere l'individualità di una persona, tema trattato in molti film fantascientifici, dove erano i cloni a prendere  il posto della persona clonata. Non essendo a conoscenza di risultati di esperimenti di clonazione umana non siamo in grado di prevedere quello che potrebbe accadere: l'individuo diventerebbe "doppio" o rimarrebbe singolo? Potrebbe sviluppare le stesse capacità del suo "originale" o avrebbe una vita completamente diversa?

Sicuramente un individuo smetterebbe di essere uno solo, a prescindere dai risultati un individuo verrebbe considerato doppio.

Frattali

Un frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua struttura allo stesso modo su scale diverse, ovvero che non cambia aspetto anche se visto con una lente d'ingrandimento. Questa caratteristica è spesso chiamata auto-similarità. Il termine frattale venne coniato nel da Benoit Mandelbrot; le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria.

Le caratteristiche principali dei frattali possono sono:

Autosimilarità: F è unione di un numero di parti che, ingrandite di un certo fattore, riproducono tutto F; in altri termini F è unione di copie di se stesso a scale differenti.

Struttura fine: F rivela dettagli ad ogni ingrandimento.

Irregolarità: F non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche. (la funzione è ricorsiva: F =

Dimensioni di autosimilarità > della dimensione topologica: la caratteristica di queste figure è che, sebbene esse possano essere rappresentate in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la loro dimensione non è intera. In effetti la lunghezza di un frattale 'piano' non può essere misurata definitamene, ma dipende strettamente dal numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale.

L'indefinitezza è una delle caratteristiche peculiari di tali costruzioni matematiche, ovvero la possibilità di iterare virtualmente all'infinito per ciascun punto prima di passare al successivo. Quindi, per 'disegnare' un frattale attraverso un elaboratore, è necessario precisare il numero massimo di iterazioni: un tempo finito non basterebbe per calcolare un punto del frattale a infinite iterazioni.

Utilizzando la funzione f(z): Z = z² + c si ottengono i due tipi di frattali che noi studieremo principalmente: i famosi 'Julia' e 'Mandelbrot' (che sono generati dalla stessa equazione, ma con valori differenti per il parametro c).

L'Insieme di Mandelbrot è il frattale più famoso.

L'insieme di Mandelbrot è l'insieme dei c C tali che, posto

z₀ = 0, la successione è convergente.

Per l'insieme di Cantor, si ha D_t (C) = 0. Tale definizione non distingue tra C e l'insieme dei razionali nell'intervallo [0,1]. Per questo Mandelbrot evidenziò come la dimensione topologica non sia opportuna per le figure frattali.

I frattali compaiono spesso nello studio dei sistemi dinamici e nella teoria del caos e sono spesso descritti in modo ricorsivo da equazioni molto semplici, scritte con l'ausilio dei numeri complessi. Ad esempio l'equazione che descrive l'insieme di Mandelbrot è la seguente:

dove a_n e P₀ sono numeri complessi.

Frattali in natura

Forma frattale di una montagna

La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali. Ad esempio in un albero (soprattutto nell'abete) ogni ramo è approssimativamente simile all'intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo, e così via; è anche possibile notare fenomeni di auto-similarità nella forma di una costa: con immagini riprese da satellite man mano sempre più grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o meno dentellati mostra molte componenti che, se non identiche all'originale, gli assomigliano comunque molto. Secondo Mandelbrot, le relazioni fra frattali e natura sono più profonde di quanto si creda.

Considerando la natura che ci circonda si potrebbe studiare elementi naturali attraverso frattali.

Alcuni esempi possono essere:

I fulmini

Nella foto è rappresentato un frattale appartenente all'insieme di Julia, è facile osservare come le due strutture si assomiglino tanto da poter definire un fulmine un frattale.

Le spirali

Le spirali sono alla base del mondo vivente. Il nucleo cellulare è costituito da una lunga catena a spirale, il DNA, riportante l'intero codice genetico. Anche la forma di certi organismi può essere a spirale come quella dell'ammonite.

La spirale di Archimede è la più semplice ed è espressa in coordinate polari con la formula

r = aϕ.

Tutte le spirali di Archimede sono simili, differiscono solo per scala.

Alberi

L'albero di Pitagora la cui costruzione è basata sul sistema binario.

Un quadrato ha un lato in comune con un triangolo rettangolo isoscele, che a sua volta ha gli altri due lati in comune con altri due quadrati e così via. La somma delle aree dei due quadrati più piccoli, per il teorema di Pitagora, è uguale all'area del quadrato iniziale e così anche le aree dei quadrati che si formano nei passaggi successivi, sommate, daranno l'area del primo quadrato. Si può avere un albero asimmetrico semplicemente costruendo un triangolo rettangolo qualsiasi sul lato del primo quadrato.

Per i frattali si tratta sempre di regole o formule iterative, ossia tali da generare strutture particolari, con una carat-teristica: l'autosomiglianza. Ossia, una parte dell'oggetto è uguale al tutto, come succede spesso in natura, per una montagna, dove una roccia può rappresentare una miniatura

Il fiocco di neve di von Koch

La figura a lato mostra come generare il cosiddetto fiocco di neve di von Koch: si prende un segmento, lo si taglia in 3 parti e si sostituisce quella centrale con due segmentini uguali a quello eliminato; ora si ripete l'operazione con ciascuno dei quattro segmenti così ottenuti e si continua a ripeterla per un numero infinito di volte.  La curva che si ottiene dopo un numero infinito di iterazioni è una curva frattale.

Per osservare al meglio la struttura  a "fiocco di neve" è necessario applicare le operazioni precedente ad un triangolo.

La forma frattale di un cavolfiore

A qualunque scala si osservi, l'oggetto presenta sempre gli stessi caratteri globali.

Quindi possiamo dire che anche all'interno della natura non esiste un elemento unico, in quanto molti degli elementi naturali possono essere considerati forme frattali, auto duplicazioni di se stessi, non singoli, ma molti.

Fonti

Supporti multimediali

www.wikipedia.it

www.artemotore.com

spazioinwind.libero.it/informascienza/Tematiche/clonazione.htm

digilander.libero.it/pnavato/frattali/

Supporti cartacei

La scrittura e l'interpretazione. Edizione rossa di Romano Luperini, Pietro Cataldi, Lidia Marchiani, Franco marchese.

Le Scienze. Numero 377/gennaio 2000