Una verità millenaria : "Gli Elementi" di Euclide e i postulati della geometria

Una verità millenaria : "Gli Elementi" di Euclide e i postulati della geometria

Il matematico greco Euclide, vissuto attorno al 300 a.C., diede nei suoi "Elementi" una sistemazione teorica alla geometria destinata a durare per oltre due millenni. Tuttavia l' importanza degli "Elementi" di Euclide va al di là della geometria : in tale testo, infatti, il "metodo ipotetico-deduttivo" viene per la prima volta utilizzato nella costruzione di un sistema teorico di vasto respiro. Tale metodo è stato, fino ai primi decenni del XX secolo, il modello a cui si è ispirata tutta la matematica.

Ognuno dei tredici libri in cui si articolano gli "Elementi" comincia con i "termini", che corrispondono a ciò che oggi noi chiamiamo "definizioni". All'inizio del primo libro compaiono poi gli "assiomi" o "nozioni comuni" ed i "postulati". Sia assiomi che postulati sono asserzioni la cui verità è considerata da Euclide come "evidente". I postulati riguardano concetti strettamente geometrici, mentre gli assiomi sono enunciati matematici di carattere più generale.(Oggi non si fa più alcuna distinzione fra assiomi e postulati, tanto che i due termini, nella matematica moderna, sono divenuti sinonimi.) Per Euclide, assiomi e postulati sono asserzioni la cui verità è garantita dall'evidenza intuitiva, senza che sia necessaria alcuna dimostrazione. Ogni altra asserzione ("proposizione" nella terminologia euclidea) è invece dimostrata. In questo modo il ricorso all'intuizione come garanzia di verità, se da un lato è reso esplicito, dall'altro è circoscritto e limitato al massimo. Questo atteggiamento di "scarsa fiducia" nei confronti della pur necessaria intuizione ha improntato tutta la storia della matematica: teorie già note sono state sottoposte a ripetuti riesami critici allo scopo non solo di modificarne o di ampliarne i risultati, quanto di renderli più rigorosi eliminando il più possibile il ricorso all'intuizione. Questa sorte, come vedremo, non ha risparmiato neppure la geometria euclidea.

Euclide dunque, per evitare ulteriori appelli all'evidenza intuitiva, in ogni dimostrazione ammette come veri solo gli assiomi, i postulati e le proposizioni precedentemente già dimostrate. L'intera teoria viene dunque a poggiare sugli assiomi e sui postulati come un edificio poggia sulle fondamenta: la verità degli assiomi e dei postulati, insieme alla correttezza delle dimostrazioni, garantisce la verità dell'intera teoria. Ecco per esempio alcuni termini, assiomi e postulati citati da Euclide nei suoi "Elementi":

Termini:        1.Punto è ciò che non ha parti.

2.Linea è una lunghezza senza larghezza.

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23.Parallele sono quelle rette che, essendo nello stesso piano e venendo prolungate

illimitatamente dall' una e dall' altra parte, non si incontrano tra loro in nessuna

delle due parti.

Assiomi:         1.Cose che sono uguali a una stessa cosa sono uguali anche fra loro.

2.Se cose eguali sono addizionate a cose eguali, le somme sono eguali.

3.Se da cose eguali sono sottratte cose eguali, le differenze sono eguali.

4.Se cose eguali sono addizionate a cose diseguali, le somme sono diseguali

5.I doppi di una stessa cosa sono eguali fra loro.

6.Le metà di una stessa cosa sono eguali fra loro.

7.Cose che coincidono tra loro sono fra loro eguali.

8.Il tutto è maggiore della parte.

Postulati: 1.Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da qualsiasi punto a ogni altro punto.

2.E che una retta terminata si possa prolungare continuamente in linea retta.

3.E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e qualsiasi raggio.

4.E che tutti gli angoli retti siano eguali tra loro.

5.E che, se una retta venendo a cadere su due rette, forma gli angoli interni e dalla stessa parte la cui somma sia minore dei due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli la cui somma è minore dei due retti.

Il ruolo che Euclide attribuisce ai "termini" non coincide completamente con quello che modernamente si dà alle definizioni. Le nostre definizioni, com' è noto, constano di due parti: il "definiendum", che è il nuovo concetto che si vuole definire, e il "definiens", che è la locuzione con cui viene individuato il significato di tale concetto.

Nel "definiens" è per noi lecito utilizzare esclusivamente termini definiti in precedenza. Per evitare una regressione all'infinito è dunque necessario partire da "concetti primitivi". Tali sono considerati, per esempio, i concetti di punto, retta, piano ecc. Il loro significato è considerato intuitivamente evidente senza bisogno di alcuna definizione. Euclide invece, con i suoi "termini", non vuole definire nuovi concetti, bensì rendere riconoscibili oggetti: punti,rette, piani ecc., da noi considerati esclusivamente come astrazioni matematiche, sono per lui enti già esistenti, a cui la definizione assegna un nome.

Quanto agli "assiomi", osserviamo che il concetto euclideo di eguaglianza comprende i nostri concetti di congruenza ed equivalenza. Gli assiomi 1 e 7 ne esprimono rispettivamente la proprietà transitiva e riflessiva, mentre la proprietà simmetrica è sottintesa. Gli assiomi 4,5 e 6 sono invece probabilmente interpolazioni posteriori ad Euclide.

Dai "postulati" 1,2 e 5 si deduce chiaramente che Euclide, con il termine "retta", designa ciò che modernamente viene chiamato "segmento di retta". Dunque la retta illimitata, come la intendiamo noi oggi, per Euclide non esiste "in atto", ma solo "in potenza", in quanto ogni segmento di retta può essere prolungato a piacere( postulato2). Il numero totale dei postulati espressi da Euclide è tuttavia maggiore dei cinque formulati negli "Elementi". La critica moderna ha infatti evidenziato, nella trattazione euclidea, diversi "postulati sottintesi", di cui Euclide fa uso senza enunciarli esplicitamente. Si ricorderà, ad esempio, il postulato "per due punti distinti passa una e una sola retta" : il postulato di Euclide afferma l'esistenza di una tale retta, mentre la sua unicità viene assunta implicitamente. Tali pecche in ogni caso non inficiano il sostanziale rigore della costruzione teorica di Euclide.

Il postulato 1, come già detto, afferma l'esistenza di una retta passante per due punti distinti qualsiasi.

Il secondo postulato equivale ai moderni postulati di illimitatezza della retta.

Il terzo postulato, negli attuali trattati, è spesso enunciato in forma diversa come "postulato del trasporto del segmento".

Il quarto postulato non ha equivalenti nei moderni manuali di geometria: a Euclide esso è necessario perché egli non considera, fra gli angoli, l'angolo piatto.

Il quinto postulato viene oggi formulato in modo diverso: "Per un punto esterno a una retta passa una e una sola parallela a tale retta".