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Appunti scientifiche |
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Leggi anche appunti:Le tre risposte filosofiche alla crisi dei fondamenti: logicismo, intuizionismo e formalismoLe tre risposte filosofiche alla crisi dei fondamenti: logicismo, intuizionismo Dante e la matematicaDANTE E LA MATEMATICA Dopo gli anni '90 del XIII secolo, Dante si dedica Lo studio di funzioniLO STUDIO DI FUNZIONI FUNZIONE : Una relazione fra due insiemi A |
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Formule matematica
Geometria Analitica
La retta:
equazione cartesiana in forma
implicita:
» coeffciente angolare:
» termine noto:
Condizione di
parallelismo tra le due rette e
:
Condizione di
perpendicolarità tra le due rette e
:
equazione cartesiana in forma
esplicita:
coefficiente angolare:
termine noto o intercetta:
equazione della retta passante per
due punti ,
:
equazione della retta passante per un
punto :
(fascio
di rette proprio)
condizione di parallelismo tra le due
rette ,
:
condizione di perpendicolarità tra le
due rette ,
:
o
anche
angolo tra due rette ,
:
La circonferenza:
Definizione: la circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistante da un punto fisso, detto centro.
equazione cartesiana:
» centro:
» raggio:
» condizione di realtà:
» equazione cartesiana:
coefficiente angolare della retta tangente in
un suo punto di ascissa :
Trigonometria:
» Risoluzione dei triangoli rettangoli. |
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1° Teorema.
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2° Teorema.
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» Area di un triangolo qualsiasi. |
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L'area di un triangolo qualsiasi è uguale al semiprodotto delle misure di due suoi lati per il seno dell'angolo fra essi compreso. |
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» Risoluzione dei triangoli qualsiasi. |
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Teorema dei seni (o di Eulero) In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell'angolo opposto: Nota. La costante
è la misura del diametro della circonferenza circoscritta. |
Teorema del coseno (o di Carnot) In un triangolo qualsiasi il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due diminuita del doppio prodotto di questi due lati per il coseno dell'angolo fra essi compreso:
Nota. Il teorema di Carnot generalizza il Teorema di Pitagora, a cui si riduce se si considera un triangolo rettangolo. |
Teorema delle proiezioni In un triangolo qualunque, la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti delle misure di ciascuno degli altri due per il coseno degli angoli che essi formano con il primo:
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IN PRATICA Per risolvere un triangolo qualsiasi devono essere noti tre elementi di cui almeno un lato. Dunque si possono presentare quattro casi: 1) due angoli e un lato
(il problema presenta una sola soluzione) |
» Proprietà
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» Calcolo dell'area
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» Lunghezza delle mediane
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» Teorema della mediana |
» Bisettrici
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» Teorema della bisettrice dell'angolo interno |
Teorema della bisettrice dell'angolo esterno:
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Raggio della circonferenza circoscritta:
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Raggio della circonferenza inscritta:
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Raggio delle circonferenze exinscritte:
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Altezze:
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Teorema dei seni (o di Eulero) In un triangolo è costante
il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell'angolo opposto: |
Teorema della corda In un triangolo il rapporto tra la
misura di un lato e il seno dell'angolo opposto è uguale al diametro della
circonferenza circoscritta: |
Teorema delle proiezioni: In un triangolo qualunque, la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti delle misure di ciascuno degli altri due per il coseno degli angoli che essi formano con il primo.
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Teorema del coseno (o di Carnot) In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due diminuita del prodotto di questi due lati per il coseno dell'angolo fra essi compreso:
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» Formule di Briggs:
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Teorema delle tangenti (o di Nepero) In un triangolo qualsiasi la somma di due lati sta alla loro differenza come la tangente della semisomma degli angoli opposti ai suddetti lati sta alla tangente della loro semidifferenza:
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Area del cerchio: Lunghezza dell'arco: Area del settore circolare: Area del semicerchio: Area del quadrante: Area della corona circolare: Area del segmento circolare: si trova come differenza fra l'area di un settore e l'area di un triangolo. |
LEGENDA Raggio = r
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Teorema della corda:
dove α è uno qualsiasi degli angoli alla circonferenza inscritti nell'arco maggiore AB . |
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Teorema delle corde:
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Teorema delle secanti:
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Calcolo Vettoriale.
Nozione di vettore Il concetto di vettore trova la sua origine nell'ambito della Fisica in quanto in essa la descrizione basata solo su grandezze elementari quali per esempio il tempo, la massa, la temperatura, il volume, si dimostra ben presto inadeguata alla rappresentazione degli oggetti e delle loro relazioni. Le grandezze fisiche si distinguono essenzialmente in due grandi classi. Quelle che risultano completamente definite quando se ne conosce la sola misura rientrano nella categoria delle grandezze scalari le altre richiedono di norma un maggior contenuto informativo e vengono rappresentate dalle grandezze vettoriali. Nella prima categoria rientrano grandezze come la lunghezza, l'area, il volume, il tempo, la temperatura, la pressione, il calore specifico, l'energia , e per queste è sufficiente fornire la loro grandezza relativamente ad una opportuna unità di misura: esempi tipici delle grandezze vettoriali sono invece lo spostamento, la velocità, l'accelerazione, la forza, l'impulso, . |
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Scelta un'unità di misura, ad ogni
segmento Sia AB la misura della
lunghezza del segmento Definiamo un segmento orientato
come quel segmento di estremi A e B nel quale si sia assegnato
un ordine e quindi si possa distinguere un punto iniziale ed uno finale. A
tal fine si sceglie il simbolo Il simbolo |
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Un vettore nel piano (o nello spazio) è un ente geometrico caratterizzato da una direzione, un verso e un'intensità (modulo). Per denotare un vettore utilizziamo
il simbolo Due vettori si dicono: equipollenti quando hanno la stessa direzione,
lo stesso verso e uguale modulo; I punti A e B si chiamano rispettivamente origine ed estremo del vettore. Se il punto A è fisso il vettore
si dice applicato in A, se invece A è un qualunque punto
della retta r, sostegno di |
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Dati due vettori |
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Regola del triangolo. Il vettore somma (o
vettore risultante) di due vettori Regola del parallelogramma. Un altro metodo consiste nella regola
del parallelogramma: il vettore risultante Regola del poligono. Nel caso in cui i vettori siano numerosi si può utilizzare la regola del poligono (metodo punta e coda). Consiste nel traslare i diversi vettori in modo che l'origine di ognuno coincida con l'estremo del precedente. Il vettore risultante si ottiene quindi unendo l'origine del primo con l'estremo dell'ultimo. Proprietà:
Per determinare il vettore differenza
basta sommare ad Osserviamo che per la differenza di
vettori non vale la proprietà commutativa, infatti: Utilizzando
la regola del parallelogramma si può notare che la lunghezza della diagonale
uscente dall'origine comune esprime la lunghezza di |
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Dato uno scalare a (numero
reale) e un vettore Se moltiplichiamo un numero reale Es. |
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Questo è il procedimento per cui
dato un vettore In accordo alla regola del
parallelogramma per la somma di vettori, possiamo dunque scrivere che |
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Sappiamo che un sistema cartesiano
ortogonale Possiamo pertanto esprimere un
qualsiasi vettore Applicando il teorema di Pitagora
al triangolo rettangolo OAC si può ricavare il modulo del vettore Se in un riferimento cartesiano i
punti origine ed estremi di un vettore Il modulo di |
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Il prodotto scalare (o
interno) di due vettori Osservazione: il prodotto scalare di due vettori è un numero. Geometricamente il prodotto scalare di due vettori è il prodotto del modulo del primo moltiplicato per il modulo della proiezione del secondo sul primo. Se i due vettori del piano Osservazione: da questa definizione
si deduce che il prodotto scalare di due vettori non nulli è nullo se e
solo se i due vettori sono tra loro perpendicolari: |
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Si definisce prodotto vettoriale
(o esterno) di due vettori Osservazioni: Area del parallelogramma ABCD = |
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Si definisce prodotto misto
di tre vettori Proprietà: Area del parallelepipedo = Area del tetraedro = |
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Viene definito doppio prodotto
vettoriale il vettore |
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