Formule matematica

» Risoluzione dei triangoli rettangoli.

1° Teorema.
In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto oppure per il coseno dell'angolo adiacente.

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2° Teorema.
In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale a quella dell'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al primo, o per la cotangente dell'angolo adiacente.

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» Area di un triangolo qualsiasi.

L'area di un triangolo qualsiasi è uguale al semiprodotto delle misure di due suoi lati per il seno dell'angolo fra essi compreso.

» Risoluzione dei triangoli qualsiasi.

Teorema dei seni (o di Eulero)

In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell'angolo opposto:

Nota. La costante è la misura del diametro della circonferenza circoscritta.
(Teorema della corda)
In un triangolo il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell'angolo opposto è uguale al diametro della circonferenza circoscritta:
= 2r

Teorema del coseno (o di Carnot)

In un triangolo qualsiasi il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due diminuita del doppio prodotto di questi due lati per il coseno dell'angolo fra essi compreso:

Nota. Il teorema di Carnot generalizza il Teorema di Pitagora, a cui si riduce se si considera un triangolo rettangolo.

Teorema delle proiezioni

In un triangolo qualunque, la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti delle misure di ciascuno degli altri due per il coseno degli angoli che essi formano con il primo:

IN PRATICA

Per risolvere un triangolo qualsiasi devono essere noti tre elementi di cui almeno un lato. Dunque si possono presentare quattro casi:

1) due angoli e un lato (il problema presenta una sola soluzione)
2) tre lati (il problema presenta una sola soluzione)
3) due lati e l'angolo compreso (il problema presenta una sola soluzione)
4) due lati e un angolo opposto ad uno di essi (il problema può avere nessuna, una o due soluzioni).

» Proprietà

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» Calcolo dell'area

formula di Erone

» Lunghezza delle mediane

, ,

» Teorema della mediana

» Bisettrici

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» Teorema della bisettrice dell'angolo interno

Teorema della bisettrice dell'angolo esterno:

(se i segmenti esistono)

Raggio della circonferenza circoscritta:

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Raggio della circonferenza inscritta:

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Raggio delle circonferenze exinscritte:

, ,

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Altezze:

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Teorema dei seni (o di Eulero)

In un triangolo è costante il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell'angolo opposto:

Teorema della corda

In un triangolo il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell'angolo opposto è uguale al diametro della circonferenza circoscritta:
= 2r

Teorema delle proiezioni:

In un triangolo qualunque, la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti delle misure di ciascuno degli altri due per il coseno degli angoli che essi formano con il primo.

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Teorema del coseno (o di Carnot)

In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due diminuita del prodotto di questi due lati per il coseno dell'angolo fra essi compreso:

, , .

» Formule di Briggs:

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Teorema delle tangenti (o di Nepero)

In un triangolo qualsiasi la somma di due lati sta alla loro differenza come la tangente della semisomma degli angoli opposti ai suddetti lati sta alla tangente della loro semidifferenza:

che si può anche scrivere:

Nozione di vettore

Il concetto di vettore trova la sua origine nell'ambito della Fisica in quanto in essa la descrizione basata solo su grandezze elementari quali per esempio il tempo, la massa, la temperatura, il volume, si dimostra ben presto inadeguata alla rappresentazione degli oggetti e delle loro relazioni.

Le grandezze fisiche si distinguono essenzialmente in due grandi classi. Quelle che risultano completamente definite quando se ne conosce la sola misura rientrano nella categoria delle grandezze scalari le altre richiedono di norma un maggior contenuto informativo e vengono rappresentate dalle grandezze vettoriali.

Nella prima categoria rientrano grandezze come la lunghezza, l'area, il volume, il tempo, la temperatura, la pressione, il calore specifico, l'energia , e per queste è sufficiente fornire la loro grandezza relativamente ad una opportuna unità di misura: esempi tipici delle grandezze vettoriali sono invece lo spostamento, la velocità, l'accelerazione, la forza, l'impulso, .

Segmenti orientati e vettori.

Scelta un'unità di misura, ad ogni segmento si può associare un numero reale non negativo AB.

Sia AB la misura della lunghezza del segmento .

Definiamo un segmento orientato come quel segmento di estremi A e B nel quale si sia assegnato un ordine e quindi si possa distinguere un punto iniziale ed uno finale. A tal fine si sceglie il simbolo convenendo di considerare A come il punto iniziale e B come quello finale. Graficamente ciò si esprime tramite una freccia che parte da A e giunge in B.

Il simbolo individua il segmento orientato di verso opposto ad e si pone . Nota che la misura della lunghezza di entrambi è ancora la medesima, AB = BA, e risulta un numero positivo se , mentre è nulla se . In tal caso il segmento orientato è detto il segmento orientato nullo.
La lunghezza del segmento orientato si dice norma, in fisica intensità o modulo.

Definizioni.

Un vettore nel piano (o nello spazio) è un ente geometrico caratterizzato da una direzione, un verso e un'intensità (modulo).

Per denotare un vettore utilizziamo il simbolo , mentre usiamo la notazione per individuare i segmenti orientati rappresentativi del vettore. Per esempio, se due vettori e possiedono la medesima direzione, verso e lunghezza allora sono rappresentativi dello stesso vettore, e si può scrivere .
Indichiamo con il modulo o norma del vettore .

Due vettori si dicono:

equipollenti quando hanno la stessa direzione, lo stesso verso e uguale modulo;
concordi se hanno stessa direzione e stesso verso;
discordi quando hanno stessa direzione e verso contrario;
opposti se hanno uguale intensità e sono discordi.

I punti A e B si chiamano rispettivamente origine ed estremo del vettore.

Se il punto A è fisso il vettore si dice applicato in A, se invece A è un qualunque punto della retta r, sostegno di , il vettore si dice applicato ad r. Se non è applicato si dice libero.

Operazioni con i vettori.

Dati due vettori e possiamo definire delle operazioni tra essi in modo da associare a ciascuna coppia un altro vettore.

Somma e differenza di vettori

Regola del triangolo. Il vettore somma (o vettore risultante) di due vettori e si determina graficamente applicando nell'estremo di , mediante una traslazione, il vettore . Il vettore che unisce l'origine di con l'estremo di fornisce la somma .

Regola del parallelogramma. Un altro metodo consiste nella regola del parallelogramma: il vettore risultante è rappresentato dalla diagonale del parallelogramma costruito per mezzo dei segmenti orientati rappresentativi dei due vettori e disposti in modo da avere l'origine in comune.

Regola del poligono. Nel caso in cui i vettori siano numerosi si può utilizzare la regola del poligono (metodo punta e coda). Consiste nel traslare i diversi vettori in modo che l'origine di ognuno coincida con l'estremo del precedente. Il vettore risultante si ottiene quindi unendo l'origine del primo con l'estremo dell'ultimo.

Proprietà:

• Commutativa:
• Associativa:
• Elemento neutro:

Per determinare il vettore differenza basta sommare ad l'opposto di : .

Osserviamo che per la differenza di vettori non vale la proprietà commutativa, infatti: .

Utilizzando la regola del parallelogramma si può notare che la lunghezza della diagonale uscente dall'origine comune esprime la lunghezza di mentre la lunghezza dell'altra diagonale è pari alla lunghezza del vettore .