Lo studio di funzioni

LO STUDIO DI FUNZIONI

FUNZIONE :

Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento di B.

DOMINIO :

Dati due insieme A e B è l'insieme degli elementi A a cui è applicata la funzione.

FUNZIONE PARI :

Consideriamo D un sottoinsieme di R (insieme dei numeri reali) tale che se x appartiene a D allora -x appartiene a D. Una funzione y= f(x) si dice pari in D se f(-x) per qualunque x appartenente a D.

FUNZIONE DISPARI :

Consideriamo D un sottoinsieme di R tale che se x appartiene a D anche -x appartiene a D. Una funzione y=f(x) si dice dispari in D se f(-x) per qualunque x appartenente a D.

FUNZIONE CRESCENTE :

Una funzione y=f(x) di dominio D uguale e contenuto in R si dice crescente in senso stretto di un intervallo I, sottoinsieme di D, se comunque scelti X1 e x2 appartenenti a I, con x1<x2, allora f(x1)<f(x2).

FUNZIONE DECRESCENTE :

Una funzione y=f(x) di dominio D uguale e contenuto in R si dice decrescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se comunque scelti X1 e X2 appartenenti a I, con x1<x2 allora f(x1)>f(x2).

INTORNO COMPLETO DI UN PUNTO :

Dato un numero reale x0 si chiama intorno completo di x0 un qualunque intervallo appartenente x0.

INTORNO CIRCOLARE :

Dato un numero reale x0e un numero reale positivo c, si chiama intorno circolare di x0 di raggio C, l'intorno]x0-c ; x0+C[, in cui x0 è il punto medio.

LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO :

Sia x0 appartenente a un intervallo [a ;b] e sia una funzione definita in ogni punto di [a ;b] tranne al più x0. Si dice che la funzione f(x) ha per limite il numero reale l per x che tende a x0 e si scrive :

quando comunque si scelga un numero reale positivo epsilon si può determinare un intorno completo I di x0 tale che risulti |f(x)-l|<epsilon per ogni x appartenente a I intersezione [a ;b], diverso da x0.

FUNZIONE CONTINUA IN UN PUNTO :

Sia f una funzione definita in un intervallo [a ;b] e x0 un punto interno all'intervallo. La funzione f(x) si dice continua nel punto x0 quando esiste il limite di f(x) per x che tende x0 e tale limite è uguale al valore f(x0) della funzione calcolata in x0 ;

PUNTO DI DISCONTINUITA' DI I° SPECIE :

Un punto x0 si dice punto di discontinuità di prima specie per la funzione f(x) quando, per x che tende a x0, il limite destro e il limite sinistro di f(x) sono entrambi finiti ma diversi fra loro. La differenza fra il limite destro e i limite sinistro si chiama salto della funzione in x0

PUNTO DI DISCONTINUITA' DI II°SPECIE :

Un punto x0 si dice punto di discontinuità di seconda specie per la funzione f(x) quando per x che tende a x0 almeno uno dei due limiti, destro o sinistro, di f(x) è infinito oppure non esiste.

PUNTO DI DISCONTINUITA' DI III°SPECIE ;

Un punto x0 si dice punto di discontinuità di terza specie per la funzione f(x) quando :

esiste ed è finito il limite di f(x) per x che tende a x0 ossia limite per x che tende a x0 =l

f non è definita in x0, oppure, se lo è, risulta f(x0)diverso da l

FORME INDETERMINATE :

(infinito fratto infinito)

Data una funzione razionale fratta, con il numeratore di grado n e il denominatore di grado m, abbiamo :

limite di f(x) per x che tende a +infinito o a -infinito =

+ o - infinito se n>m

a0 fratto b0 se n=m

0 se n<m

(0 fratto 0)  se x0 si annulla sia il numeratore, sia il denominatore

dividiamo il numeratore e denominatore per (x-x0) usando la regola di Ruffini

se la funzione così ottenuta ha numeratore e denominatore che non tendono entrambi a 0 per x che tende a x0, non abbiamo più una forma indeterminata e possiamo calcolare il limite, altrimenti ripetiamo il punto 1.

RAPPORTO INCREMENTALE

Data una funzione y=f(x), definita in un intervallo [a ;b], e due numeri reali c e c+h interni all'intervallo, si chiama rapporto incrementale di f (relativo a c), il numero   f(c+h)-f (c)

SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA :

E' il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione

FUNZIONE DERIVABILE IN UN INTERVALLO :

Una funzione y=f(x) è derivabile in un intervallo chiuso [a ;b], se è derivabile in tutti i punti interni di [a ;b] e se esistono e sono finite in a la derivata destra e in b la derivata sinistra.

PUNTI STAZIONARI :

Data la funzione y=f(x) e un suo punto x=c, se f'(c)=0, allora x=c si dice punto stazionario o punto a tangente orizzontale.

ASINTOTO :

Una retta è detta asintoto del grafico di una funzione se la distanza di un generico punto del grafico da tale rette tende a zero quando l'ascissa o l'ordinata del punto tendono a infinito.

ASINTOTO ORIZZONTALE :

Data la funzione y=f(x), se si verifica una delle seguenti condizioni (o entrambe) :

limite per x che tende a infinito di f(x)=q o limite per x che tende a -infinito di f(x)=q allora la retta di equazione y=q è un asintoto orizzontale.

ASINTOTO VERTICALE :

Data la funzione y=f(x), se si verifica una o più fra le seguenti condizioni :

limite per x che tende a c+ di f(x)=+infinito, limite per x che tende a c+ di f(x)=+ infinito, limite per x che tende a c+ di f(x)= - infinito, allora la retta di equazione x=c è un asintoto verticale.

ASINTOTO OBLIQUO :

Data la funzione y=f(x), se si ha :

limite per x che tende a infinito di f(x) = infinito,

e il grafico della funzione presenta un asintoto obliquo di equazione y=mx+q, con m diverso da 0, allora m e q sono dati dai seguenti limiti :

m= limite per x che tende a infinito di q=limite per x che tende a infinito [f(x)-mx], con m diverso da 0

f(x)

x