NUOVI
TEOREMI per la nuova geometria
Quali teoremi Bolyai e Lobacevskij
riuscirono a provare con i loro assunti? Risulta evidente che tutti i teoremi
della geometria euclidea dimostrati senza ricorrere all'uso del postulato
euclideo delle parallele sono validi, automaticamente, anche nella geometria di
Bolyai e di Lobacevskij, poiché essi conservarono gli altri postulati euclidei.
Come esempi di tali teoremi possiamo citare: gli angoli retti sono uguali; da un
punto P si può tracciare solo una perpendicolare a una linea retta;e, in
un triangolo con lati uguali, gli angoli opposti a questi lati sono uguali.
La situazione è invece sorprendente per
quei teoremi della geometria di Bolyai e di Lobacevskij che dipendono dal loro
postulato delle parallele e che perciò non si trovano in Euclide. Questi
teoremi, dimostrati, come tutti i teoremi matematici, con i metodi di
ragionamento deduttivo, non traggono grande utilità dalle figure, a differenza
di quanto avviene nella geometria euclidea, nell'illustrazione dei passaggi
della dimostrazione o dei significati dei teoremi.
Particolarmente inaspettato è il
teorema che la somma degli angoli di ogni triangolo è sempre minore di
180. Inoltre, di due triangoli, quello che ha area maggiore ha una
somma degli angoli minore. Ancor più sorprendente è il fatto che la nuova
geometria annulla un concetto vitale della geometria euclidea, ossia che due
figure geometriche possono avere la stessa forma ma dimensioni diverse.
Diciamo, in tal caso, che le due figure sono simili ma non congruenti. Nella
nuova geometria due triangoli simili devono essere anche congruenti. Come
ultimo esempio di un nuovo teorema, menzioniamo il seguente: La distanza fra
due linee parallele si approssima a zero in una direzione lungo le linee e
diventa infinita nell'altra direzione.
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