UN
NUOVO POSTULATO delle parallele
Una trentina
d'anni dopo la pubblicazione delle opere fondamentali di Lobacevskij e di
Bolyai; fu pubblicata postuma, insieme ad altri scritti, la corrispondenza di
Gauss sulla geometria non euclidea. Il nome di Gauss attrasse l'attenzione
sull'argomento e poco tempo dopo il mondo matematico cominciò a leggere
Lobacevskij e Bolyai.
Fig. 1. La parallela di Euclide come linea limite unica
Per apprezzare nel suo giusto valore la loro
opera sul problema del postulato delle parallele dobbiamo fare un passo
indietro. Consideriamo una linea retta L (fig. 1) e un punto P non
giacente su di essa. Il quinto postulato di Euclide afferma che per P passa
una e una sola linea K che non incontri L. Ora sia Q un
punto su L. Man mano che Q si sposta verso destra, la linea PQ
ruota in senso antiorario attorno a P e sembra approssimarsi alla linea
K. Analogamente, man mano che Q si muove su L verso sinistra, la
linea PQ ruota in senso orario attorno a P e si avvicina di nuovo
a K. In entrambi i casi, quindi, PQ si avvicina a una e medesima
linea limitante K.
Bolyai e
Lobacevskij supposero invece che le due posizioni limitanti di PQ non
siano la stessa linea K bensì due linee diverse passanti per P, e
che queste linee limitanti, M e N (fig. 2), non incontrino L. Essi
supposero inoltre che ogni linea passante per P e compresa fra M
e N, come la J, non incontri la L. Il postulato delle
parallele di Bolyai e di Lobacevskij afferma perciò l'esistenza di un insieme
infinito di parallele a L passanti per P. (Questi uomini
riservarono la parola 'parallela' alle sole linee limitanti M e
N, ma noi la useremo per denotare ogni linea passante per P che
non incontri L.)Si potrebbe pensare, come fecero i matematici dell'epoca di
Bolyai e di Lobacevskij, che si tratta di un assunto ridicolo. Il diagramma
suggerisce che M e N incontreranno L se tutt'e tre le
linee vengono prolungate a sufficienza.
Fig. 2. Il postulato delle parallele di Lobacevskij e di Bolyai
Ricordiamo, nondimeno, che Bolyai e
Lobacevskij erano interessati a ritrovare un postulato che,descrivesse o no lo
spazio in cui crediamo di vivere, fosse un'alternativa logica a quello di
Euclide. E poiché i teoremi che dovevano essere derivati da tale assunto e dai
restanti postulati euclidei sarebbero dipesi solo dal ragionamento e non
dall'accordo con figure, il fatto che l'assunto non corrispondesse a sensazioni
visuali risultava irrilevante.
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