Estremo superiore e inferiore di un insieme numerico

ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE DI UN INSIEME NUMERICO

Definizione 1

Siano 0AR e LR. si dice che il numero L è un maggiorante dell'insieme A se risulta La . Si dice che l'insieme A è limitato superiormente quando è dotato di maggioranti.

Analogamente si dice che l'insieme A è limitato inferiormente quando è dotato di minoranti cioè se : . Un insieme 0AR si dice limitato quando risulta limitato sia superiormente sia inferiormente e cioè .Un insieme 0AR si dice non limitato quando non risulta limitato superiormente, oppure inferiormente, oppure non risulta limitato ne superiormente ne inferiormente.

Osservazione 1

Sia 0AR e supponiamo che A sia dotato di massimo. Ciò significa che esiste un numero reale .

Osserviamo che M è caratterizzato dalle seguenti due proprietà.

I)        M è maggiorante di A;

II)      Non esistono maggioranti di A minori di M.

Conseguentemente M è il più piccolo dei maggioranti di A e analogamente, il minimo di A è il più grande dei minoranti di A.

Osserviamo ancora che non tutti i sottoinsiemi di R hanno massimo o minimo. Ad esempio l'intervallo ]1,2[ non ha ne massimo ne minimo,

Sussiste in proposito il seguente risultato che si dimostra utilizzando l'assioma di completezza di R.

Proposizione

L'insieme dei maggioranti (minoranti) di un insieme A limitato superiormente (inferiormente) è dotato di minimo (massimo).

Dim

Indichiamo con B l'insieme dei maggioranti di A. B è non vuoto per ipotesi A è limitato superiormente. Essendo A e B separati per l'assioma di completezza

,

Essendo c è un maggiorante di A e quindi cB.

Essendo c è il minimo di B

Il teorema è dimostrato.

Definizione 2

Sia 0AR un insieme limitato superiormente. Il minimo dei maggiorante di A si chiama estremo superiore di A. Analogamente se A è limitato inferiormente il massimo dei minoranti si chiama estremo inferiore di A.

L'estremo superiore e l'estremo inferiore di A si indicano rispettivamente con i simboli supA e infA.

Osservazione 2

Una volta data questa definizione la proposizione precedente si può riformare dicendo che ogni insieme limitato superiormente ha estremo superiore e ogni insieme limitato inferiormente ha estremo inferiore.

Evidentemente se supAA allora supA è anche massimo di A e ,analogamente, se infAA infA è anche il minimo di A.

Si noti ancora che infAsupA perché aA .

Proposizione (sulle proprietà caratteristiche dell'estremo superiore e inferiore)

Sia 0AR un insieme limitato superiormente. Vale l'equivalenza:

Analogamente se A è limitato inferiormente

Dim

Basta osservare che la proprietà 1) equivale a dire che e" è un maggiorante mentre la proprietà 2) equivale a dire che ogni minore di e" non è un maggiorante. Conseguentemente le proprietà 1) e 2) messe insieme equivalgono a dire che e" è il più piccolo dei maggioranti e cioè, che e" è l'estremo superiore di A.

Definizione 3

Se 0AR è un insieme non limitato superiormente si pone . In altri termini

)

Analogamente A non è limitato inferiormente inf A=.

Osservazione 3

Una volta data la nozione di estremo superiore e inferiore di un insieme è facile dimostrare la seguente proporzione.

Proposizione

Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. V.S.i.

(A e B separati e contigui)

ESTREMI DI UNA FUNZIONE REALE

Definizione 1

Sia si dice che f è dotata di massimo in X se il suo condominio f(X) è dotato di massimo e cioè se

Si chimi massimo di f nell'insieme X il massimo del condominio f(X) (se esiste) e si denota col simbolo . Conseguentemente:

Ogni punto : si chiama punto di massimo di f in x.

Analogamente si definisce il minimo di f in X (se esiste) ponendo:

Osservazione 1

Si noti che il minimo e il massimo di f in X sono unici, invece i punti di minimo e massimo possono essere anche infiniti.

Definizione 2

Sia . Si dice che f è limitata superiormente (inferiormente), in X se tale è il suo condominio f(X). Si dice f è non limitata superiormente (inferiormente) se tale è il suo condominio f(x).

f è limitata superiormente in x l'estremo superiore del suo condominio f(X) si chiama estremo superiore di f in X e si denota

Se invece f è non limitata superiormente in X si dice che l'estremo superiore di f in X è e si pone

In conclusione

In maniera analoga

Osservazione 2

Rileviamo esplicitamente che l'estremo superiore come pure l'estremo inferiore non sono in generale valori della funzione.

Evidentemente se e cioè se l'estremo superiore di f in X è il valore f() di f in allora . Analogamente vale per l'estremo inferiore.

SUCCESSIONI NUMERICHE

Definizione 1

Si chiama successione numerica ogni funzione reale definita nell'insieme di numeri naturali N e cioè una legge che ad ogni numero naturale associa un unico numero reale è una successione numerica si pone e cioè si indica con il valore della funzione in n, una volta introdotta questa notazione la successione stessa si denota col simbolo

Oppure anche con i simboli più compatti

; ()

I valori che la funzione a assume nei punti 1,2,...,n,... si chiamano termini della successione più precisamente si chiama primo termine, secondo termine,..., termine n_esimo o anche termine qualunque della successione.

Osservazione 1

Il codominio di una successione si chiama anche sostegno della successione.

Osservazione 2

Alle volte non è possibile definire una successione numerica il suo termine generale. Consideriamo ad esempio la successione di Fibonacci

1,1,2,3,5,8,13,21,.....

Tale successione è definita dalla seguente proprietà:

Perché ogni termine dopo il secondo è somma dei due termini precedenti. In tali casi si dice che la successione è definita induttivamente(questo so riuscito a tradurre non so se è il termine esatto), ciò significa che ogni termine deve essere calcolato utilizzando termini precedenti.

Osservazione 3

Essendo una successione è è limitata superiormente se tale è il suo sostegno e cioè se

Analogamente e limitata inferiormente se

E cioè il suo sostegno è limitato inferiormente.

Infatti la successione si dice limitata se è limitato sia superiormente che inferiormente e cioè se

Notiamo che se poniamo risulta .

Conseguentemente possiamo affermare che

Definizione 2

Col simbolo che si legge R ampliato si denota l'insieme e cioè l'insieme che si ottiene aggregando all'insieme R i due simboli e .

Conseguentemente

).

Definizione 3 (intorno di un numero reale)

Sia l un numero reale. Si chiama intorno di l e si denota col simbolo ogni intorno aperto (limitato o non limitato) al quale l appartiene.

In altri termini se a,b e a<b

Sia ancora un numero reale positivo. Si chiama intorno di l di centro l e semidimensione e si denota col simbolo I(l,) l'intervallo

Conseguentemente

Chiamiamo infine, intorno di (di ) e si denota con il simbolo I() (col simbolo I()) ogni intervallo aperto e non limitato superiormente (inferiormente). In simboli

( )

Osservazione notevole

Si noti che, se l è un numero reale allora ogni intorno di I(l) di l contiene un intorno di centro l, I(l,).

Infatti posto I(l)=]a,b[    a<l<b.

Posto allora

E cioè indicata con la più piccola distanza di l dagli estremi a e b dell'intervallo ]a,b[

DEFINIZIONE DI LIMITE

Definizione 1

Sia () una successione e l. Si dice che () converge a l o anche che () ha per limite l o anche che tende a l e si scrive

(*) oppure (si legge tende a l)

Quando la successione () verifica la seguente proprietà.

Per ogni numero reale positivo esiste un indice, cioè un numero naturale v, allora

In simboli dunque:

Osservazione 2

Essendo

La proprietà di convergenza di () si può anche esprimere nella maniera seguente:

Ricordando che l'intervallo si chiama intorno di l di centro l e semidimensione e si denota col simbolo I(l,), osservando che I(l,) è assegnato quando è assegnato il numero positivo , la definizione di convergenza si può formulare anche come segue:

Definizione 2

Si dice che la successione () diverge positivamente o anche che ha per limite + o anche che tende a + e si scrive

oppure

Quando accade che per ogni M>0 esiste un tale che se n>

In altri termini

Osservazione 2

Vediamo esplicitamente che essendo

La definizione di limite precedente si può anche esprimere :

Definizione 3

Si dice che la successione () diverge negativamente ( o anche () ha per limite -) e si scrive:

oppure

Quando () verifica la seguente proprietà:

Per ogni M>0 esiste un indice tale che se n> allora <-M

In altri termini:

)

Osservazione 3

Anche ora osservato che , la definizione di limite precedente si può anche esprimere

Definizione 4

Una successione si dice regolare quando ammette limiti (finito o infinito); si dice non regolare o oscillante quando non ammette limite.

Considerando questo paragrafo sulla definizione di limite osservando che poiché ogni intorno I(l) di l contiene un intorno I(l,) di centro l, le varie definizioni di limite si possono riassumere nell'unica

Definizione generale di limite

Sia () una successione e l.

Teorema sull'unicità del limite

Ogni successione regolare () non può tendere a due limiti diversi.

Conseguentemente il limite se esiste è unico

Dim

Supponiamo, per assurdo, che () ammette due limiti

Posto >0 per la definizione di limite in corrispondenza di tale numero positivo

e

Ma ciò è impossibile. Infatti per la disuguaglianza triangolare se ciò è vero dovrebbe risultare

E cioè

Si conclude che l'ipotesi posta nel nostro ragionamento non può sussistere e quindi

PROPRIETA' NOTEVOLI DEL LIMITE DI UNA SUCCESSIONE

Proposizione 1 (criterio di convergenza per confronto)(teorema dei carabinieri)

Consideriamo tre successioni () , () e () e un numero reale l.

Vale la seguente implicazione

Dim

Per l'ipotesi 2) :

Per l'ipotesi 1):

E quindi vale anche la seguente proprietà

La quale, come sappiamo, esprime appunto che l è il limite della successine () per n che tende a infinito.

Proposizione 2 (criterio di divergenza per confronto)

Valgono le seguenti implicazioni

e

e

Proposizione 3 (criterio della permanenza del segno)

Consideriamo una successione () convergente. V.S.I.

Dim

Poniamo .

Consideriamo . Per la definizione di limite :

Corollario 1

Sia () una successione convergente V.S.I.

Dim

Se fosse , per il teorema della permanenza del segno dovrebbe risultare definitivamente contro l'ipotesi.

Corollario 2

Consideriamo le successioni (), () e supponiamo che tali successioni siano convergenti V.S.I.

Dim

Consideriamo la successione (-). Essendo per ipotesi - dal corollario precedente risulta

Definizione (successione limitata)

Una successione () si dice limitata quando il suo sostegno e un insieme limitato e quindi

Proposizione 4

Ogni successione convergente è limitata e cioè V.S.I.

.

Dim

Consideriamo . Per al definizione di limite risulta

E quindi

Posto allora

Si conclude che

Osservazione

Si noti che l'implicazione contenuta nella proposizione 4 non si inverte cioè

(()limitata)(( )convergente)

Ad esempio le successioni è limitata tuttavia oscillante.

Proposizione 5 (applicazione del teorema dei carabinieri)

Sia () è una successione limitata e () è una successione infinitesima, la successione () e infinitesima cioè

Dim

Per l'ipotesi 1)

Cioè

La tesi segue dall'ipotesi 2) e dal teorema dei due carabinieri quando .

SUCCESSIONI MONOTONE

Una successione (), coerentemente a quanto detto per le finzioni si ha che è monotona se è crescente cioè:

Oppure decrescente cioè:

In particolare se la disuguaglianza ci dice che queste disuguaglianze valgono in senso stretto, allora si dice anche strettamente crescente strettamente decrescente.

Evidentemente se scegliamo m=n+1 allora

)

)

Teorema sul limite delle successioni monotone

Sia () una successione monotona. Valgono le seguenti implicazioni.

Conseguentemente ogni successione monotona è regolare. In particolare ogni successione monotona è limitata e convergente.

Dim

Possiamo limitarci a dimostrare la prima implicazione perché la dimostrazione della seconda e del tutto analoga.

Supponiamo in un primo momento () limitata e supponiamo

Per la proprietà caratteristiche che dell'estremo superiore risulta :

I°)

II°)

D'altra parte per l'ipotesi di convergenza di () risulta anche:

III°)

Dalle proprietà II°, III° e I° si deduce

E di qui l'asserto per la definizione di limite della convergenza.

Supponiamo () non limitata e supponiamo anche

Per definizione vale allora la seguente proprietà:

Nell'ipotesi di convergenza n>

E di qui l'asserto per la definizione di limite nel caso della divergenza.

Il teorema e' dimostrato

Osservazione (notevole)

Abbiamo visto che, in generale

limitata

Il teorema nel limite delle successioni monotone precisa che

limitata e monotona)

TEOREMI SULLA SOMMA, SUL PRODOTTO E SUL RAPPORTODEI LIMITI

Premettiamo che , considerate le successioni (),, le successioni

; ;

Si chiamano rispettivamente successione somma, successione prodotto e successione rapporto delle due successioni e

Teorema sul limite della somma

Consideriamo le successioni somma delle due successioni e . Vale la seguente implicazione.

e

In altri termini se le successioni e sono convergenti anche la successioni somma è convergente e il limite della somma è uguale alla somma dei limiti.

Dim

Per ipotesi

Sommando membro a membro le due doppie disuguaglianze, risulta anche

E di qui l'asserto per la definizione di limite.

Osservazione (notevole)

L'ipotesi di convergenza delle due successioni e che figura nel teorema della somma è molto restrittiva. In effetti tale teorema si può generalizzare se introduciamo in le seguenti due convenzioni:

1°) se si pone

;

Perché nel primo caso risulti e nel secondo

2°) I simboli

;

Non hanno alcun significato e cioè non denotano alcun elemento di . Essi si riassumono nell'unico simbolo che indica la forma indeterminata della somma.

Ciò posto si dimostra il seguente risultato.

Teorema generalizzato sul limite della somma

Siano , sono regolari V.S.I.

In altri termini: le successioni e sono regolari anche la successione è uguale alla somma dei limiti purché non si presenti il caso della forma indeterminata della somma.

Osservazione

Il motivo per cui il simbolosi chiama forma indeterminata sta nel fatto che se una delle due successioni , diverge positivamente e l'altra diverge negativamente, allora, per questo il limite della somma può succedere tutto:

Tale limite può esistere, non esistere, esistere finito o infinito.

Teorema sul limite del prodotto

Consideriamo due successioni e convergente V.S.I.

Dim

Consideriamo la differenza . Sottraendo ed aggiungendo ab e applicando la disuguaglianza triangolare del valore assoluto, si ha

Osserviamo ora che, poiché (() convergente)(( ) limitato),

Inoltre per la definizione di limite

e

Da tutto ciò consegue che

Tenendo conto che la quantità può essere ritenuta, come la sola , quantità positiva arbitraria, l'asserto segue dalla definizione di limite riferita alla successione ().

Osservazione 3 (notevole)

Anche il teorema sul limite del prodotto si può generalizzare.

A tale scopo si introducono le seguenti convenzioni.

1°) Sia . Si pone per convenzione

2°) i simboli

;

Non hanno alcun significato e cioè non denotano alcun elemento di . Essi si riassumono nell'unico simbolo che si chiama forma indeterminata del prodotto.

Teorema generalizzato sul limite del prodotto

Siano () e () due successioni regolari. V.S.I

In altri termini: se le successioni () e () sono regolari anche le successioni prodotto () è regolare e il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti purché non si presenti il caso della forma indeterminata.

Osservazione

I simboli si chiama forma indeterminata perché quando per il prodotto il limite si presenta con tale forma, allora può succedere di tutto: può esistere, finito o infinito,oppure non esistere.

Osservazione 4 (notevole)

Dal teorema nel limite del prodotto si deduce che se () è una successione regolare  e se c indica una costante, risulta

E cioè ogni costante può essere portata fuori dal segno del limite.

Teorema sul limite del rapporto

Siano due successioni e supponiamo che risulti . In tali ipotesii è lecito considerare la successione rapporto .

( e

In altri termini: se e sono successioni convergenti e di più non infinitesime il limite del rapporto è uguale al rapporto dei limiti. (Dim NO)

La dimostrazioni di questo teorema è simile alla dimostrazione relativa al limite del prodotto quando si osservi che =.

Questo teorema naturalmente si può generalizzare. A tale scopo premettiamo una definizione e quattro convenzioni.

Definizione

Si dice che la successione () ha per limite il simbolo che si legge zero più, se è infinitesima e a termini definitivamente positivi.

In altri termini

)

Analogamente si introduce il simbolo ( zero meno) e si ha

)

Osservazione 6

Se a si pone per convenzione.

1°) =0

2°)

3°)

4°) I simboli :

; ;;;

Non hanno alcun significato e cioè non denotano alcun elemento di . I quattro simboli si racchiudono nell'unico simbolo . I simboli e si chiamano la forma indeterminata del rapporto.

Ciò premesso si denota il seguente :

Teorema generalizzato sul limite delle successioni

Considerati le due successioni con vale la seguente implicazione:

In altri termini: se le successioni e sono regolari e il simbolo non è una forma indeterminata oppure il simbolo , la successione rapporto () è regolare è il limite del rapporto è uguale al rapporto dei limiti.

Osservazione notevole

Nell'enunciato di questo teorema abbiamo tolto l'ipotesi b0 perché con le convenzioni introdotte può essere anche b=0.

In tal caso: se b= allora ; invece ,

se b= Conseguentemente;

se a, b=0 e allora la successione è oscillante. Infatti non può essere convergente perché . Non può essere divergente perché .