Significato geometrico dell'integrale di riemann

SIGNIFICATO GEOMETRICO DELL'INTEGRALE DI RIEMANN

L'integrale di Riemann di una funzione ha un notevole significato geometrico.

Per comprendere bene questa cosa è opportuno presentare due definizione:

Definizione 1.

Si chiama plurirettangolo ogni poligono che risulti essere un rettangolo oppure l'unione di un numero finito di rettangoli a due a due privi di punti interni comuni.

Ad esempio è un plurirettangolo l'insieme P.

area plurirettangolo P=areaR1(rettangolo1)+areaR2++areaRn

Definizione 2.

Sia f(x) una funzione reale definita in un intervallo compatto[a,b] di estremi non negativi.

Si chiama rettangoloide di base [a,b] relativo alla funzione f l'insieme dei punti (x,y) del piano cartesiano tali che :

a x b   e 0 y f(x)

grafico cfr. pag 6

nel primo caso la funzione f è limitata in [a,b] nel secondo caso no,

In tale ipotesi, per ogni partizione P=   di [a,b] la somma integrale inferiore

s(p)=

rappresenta l'area del plurirettangolo, unione dei rettangoli R1,R2,..Rn.

Di base rispettivamente x₁-x₀, x₂ -x₁,, x _n -x _n-1

e altezza m₀ ,m_1, m_2.m_n . Tale plurirettangolo è contenuto nel rettangoloide R di base [a,b] relativo alla funzione f(x).

Analogalmente la somma integrale superiore: S(p)=

rappresenta l'area di un plurirettangolo contenente il rettangoloide R unione degli n rettangoli di base rispettivamente x₁-x₀, x₂ -x₁,, x _n -x _n-1 e altezza M₀ ,M_1, M_2.M_n.

Al valore della partizione P di [a,b] gli insiemi numerici A= e B= rappresentano geometricamente l'insieme delle aree dei plurirettangoli contenuti nel rettangoloide R e l'insieme delle aree dei plurirettangoli contenuti in R.

Definizione 3.

Si dice che il rettangoloide R è dotato di area se gli insiemi numerici A e B delle aree dei plurirettangoli contenuti e contenenti R sono continui.

In tale ipotesi l'unico elemento separatore si chiama area del rettangoloide R.

Ne consegue intuitivamente , tenendo conto della definzione di integrale secondo Reimann il seguente risultato:

Significato geometrico dell'integrale di Reimann.

Se f(x) è una funzione non negativa e integrabile nell'intervallo [a,b] allora il rettangoloide R di base [a,b] relativo alla funzione f(x) è dotato di area che risulta:

area R=

Osservazione(notevole).

Consideriamo una funzione reale f 0 in [a,b]. E'  evidente che anche ora è preferibile definire il rettangoloide di base [a,b] relativo a f. si tratta dell'insieme dei punti (x,y) del piano cartesiano tali che:

xe[a,b]  e f(x) y

Premesso ciò indichiamo con R il rettangoloide di base [a,b] relativo alla funzione f e con R' il rettangoloide di base [a,b] relativo alla funzione opposta '-f( 0 in [a,b]).

Poichè i rettangoloidi R e R' sono congruenti deve risultare

areaR=areaR'

D'altra parte sappiamo già che :

areaR'=

Si deduce quindi:

areaR=-

Quindi se f 0 in [a,b] l'integrale di f esteso ad [a,b] è opposto dell'area del rettangoloide di base [a,b] relativo a f.