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Differenziale di una funzione
1. Dimostrazione
una
funzione reale, 
un punto in cui essa è derivabile; si indichi
con 
un
generico incremento della variabile indipendente 
e con 
il
corrispondente incremento della funzione . Si ponga cioè:
Il rapporto incrementale della (1) potrà scriversi come:
Nella quale, evidentemente, si ha 
, ottenendo:
Definizione:
si chiama differenziale di una funzione relativo
al punto e
all'incremento , il prodotto della derivata 
per
l'incremento
In simboli:
Quindi, applicando alla (3):
Dividiamo per
, allora anche
Ciò significa che, se 
è una
funzione derivabile, l'incremento e il differenziale di , relativi allo stesso incremento della
variabile indipendente, differiscono per un infinitesimo di ordine superiore rispetto
a , cioè
per un molto
piccolo.
2.
Significato geometrico del differenziale
Nel triangolo 
si ha
Secondo il significato geometrico e goniometrico di
derivata, 
. Quindi:
Allora il segmento 
rappresenta il differenziale della funzione in
Di conseguenza, quando la variabile indipendente passa da a 
la funzione ha un incremento uguale alla
lunghezza del segmento 
la tangente in 
ha un
incremento uguale alla lunghezza del segmento , e tale incremento è proprio il differenziale della funzione in
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