Le equazioni di Maxwell in forma differenziale (III)

Le equazioni di Maxwell in forma differenziale (III)

Il nostro punto di partenza per questa sezione sono le equazioni di Maxwell in forma integrale.

1)                [teorema di Gauss]

2)                   [solenoidalità del campo magnetico]

3)

[legge di Faraday-Neumann-Lenz]

4) [legge di Ampère-Maxwell]

Utilizziamo ora i nuovi concetti introdotti e calcoliamo la divergenza di un campo elettrostatico e magnetostatico. Verificheremo che per entrambi è pari a zero.

Se il campo è generato da una carica puntiforme, esso è esprimibile mediante la legge di Coulomb come:

dove Q è la carica sorgente del campo, è il quadrato della distanza tra la carica e il punto in cui si vuole valutare il valore del campo e è il versore diretto radialmente verso l'esterno rispetto a tale carica. Questa è una formulazione in coordinate sferiche, in cui le componenti e sono nulle perché il campo ha simmetria centrale.

Possiamo calcolare la divergenza in coordinate cartesiane, anche se ciò complicherà i calcoli. Si ha:

Quindi il campo elettrico è dato da:

Per brevità utilizzerò la seguente sostituzione:

Che è una costante in questo caso.

Calcolando abbiamo:

=

=

Ciò conferma quanto osservato prima.

Consideriamo ora un campo magnetostatico generato da una corrente di conduzione in un filo in una certa regione dello spazio. Esso è esprimibile mediante la legge di Biot-Savart come:

dove I è l'intensità della corrente nel filo, r è la distanza dal filo del punto in cui si vuole valutare il valore del campo e è il versore direzionale del campo magnetico in quel punto. Questa è una formulazione in coordinate cilindriche, in cui le componenti e z sono nulle perché il campo è puramente rotazionale.

Stavolta utilizzeremo la formula per la divergenza di un campo vettoriale in coordinate cilindriche.

Definizione (III.I)

Sia un campo vettoriale espresso in coordinate cilindriche. La sua divergenza vale:

Utilizzando questa definizione abbiamo:

Questo poiché Q ed R sono nulle.

Difatti è solenoidale.

Ora vedremo come il teorema di Gauss-Ostrogadskij ci consenta di scoprire qualcosa di nuovo sulla divergenza dei due campi.

Cominciamo dal campo elettrostatico.

Il teorema appena menzionato deve essere soddisfatto, quindi:

Consideriamo l'ultima uguaglianza.

non è altro che la carica totale netta interna alla frontiera di ; essa è data da:

Dove è la densità volumetrica di carica interna a : .

Allora riscriviamo l'ultima equazione integrale come:

L'ultimo passaggio logico, essenziale, è che l'uguaglianza dei due integrali, vista l'arbitrarietà nella scelta di , implica l'uguaglianza delle funzioni integrande.

Ecco allora la prima delle equazioni di Maxwell in forma differenziale.

Divergenza del campo elettrico

Essa lega la divergenza del campo elettrico in un punto alla densità volumetrica di carica in quel punto esatto. Ciò implica che la divergenza del campo non è nulla solo nel punto in cui è localizzata della carica. A distanza infinitesima da essa la divergenza torna a zero, come dimostrato sopra.

Dal punto di vista fisico, il campo elettrico ha divergenza positiva o negativa solo in presenza di sorgenti (o pozzi). Questa è una proprietà locale che non veniva messa in luce dal teorema di Gauss; in esso si valutava il flusso del campo attraverso una superficie con una certa estensione.

Ora è chiaro che, partendo dall'equazione appena derivata, è possibile valutare il flusso di attraverso la frontiera di sommando i contributi infinitesimi di divergenza all'interno della regione ; questo ci è assicurato dal teorema di Gauss-Ostrogadskij.

Possiamo concludere, come volevamo, che le due leggi costituiscono una formulazione equivalente delle proprietà del campo elettrico, mettendone in luce caratteristiche diverse.

Analizziamo in  modo sintetico il caso del flusso del campo magnetostatico.

Per il solito teorema:

Con un ragionamento analogo al precedente si ha la seguente legge.

Divergenza del campo magnetico

La divergenza di un campo solenoidale quale è nulla ovunque.

Questo dà un'ulteriore conferma del fatto che non esistono sorgenti e pozzi isolati di campo magnetico; cioè non esistono monopoli magnetici.

Ripresentiamo la definizione (IIa.XIX) in termini matematici e non discorsivi.

Definizione (IIa.XIX)

La divergenza di in (x,y) è il flusso uscente per unità di superficie da (x,y), ed è una proprietà locale.

In simboli:

         

Questa definizione ci consente di raggiungere gli stessi risultati analizzando un caso specifico.

Sia il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q, e valutiamo il flusso del campo attraverso una superficie gaussiana sferica con centro sulla carica di raggio R. Sotto queste ipotesi, il modulo del campo elettrico sulla superficie scelta è costante (la sfera è il luogo dei punti nello spazio equidistanti da un punto fissato detto centro), e il versore che dà la direzione del campo è sempre parallelo al versore . Quindi si riconduce a , che essendo una costante può essere portata fuori dall'integrale.

Abbiamo:

Ma non è altro che l'area della superficie sferica considerata e vale . D'altro canto .

In definitiva:

è la densità di carica volumetrica media. Il limite di questa grandezza per che tende a zero è la densità di carica nel centro geometrico della sfera. Possiamo allora scrivere, come già fatto:

Questi passaggi mostrano anche perché si scelga di porre la costante della legge di Coulomb pari a .

Ometto gli stessi passaggi algebrici per .

Passiamo alla legge dell'induzione elettromagnetica, evitando di calcolare esplicitamente il rotore del campo elettrico e del campo magnetico.

In questo caso deve valere il teorema di Stokes, quindi:

Concentrandoci sul secondo e terzo membro dell'uguaglianza abbiamo quanto segue.

Rotore del campo elettrico.

La derivata del campo magnetico al secondo membro è la derivata parziale rispetto al tempo poiché il campo può dipendere anche dallo spazio (per esempio dalla distanza tra certi punti).

Abbiamo allora che il rotore di un campo elettrico indotto non è nullo in ogni punto del continuo spazio-temporale in cui sia presente un campo magnetico variabile nel tempo (che si oppone alla variazione che l'ha generato). Questa è il senso locale dell'induzione elettromagnetica.

Per un campo elettrostatico il rotore è banalmente nullo, essendo tale campo conservativo (e avendo quindi circuitazione nulla lungo ogni curva chiusa).

Ci resta solo la legge di Ampère-Maxwell.

Il teorema di Stokes ci assicura che:

Ancora un passaggio è necessario. La corrente di conduzione concatenata a si può esprimere come

Dove è il vettore densità di corrente. .

Soddisfa la seguente proprietà:

Principio di conservazione della carica

A parole: il flusso di corrente attraverso una superficie chiusa è uguale in modulo al tasso di variazione della carica interna a ; il segno meno indica che un flusso positivo, o uscente, comporta una riduzione della densità di carica interna.

Ciò detto riscriviamo la terzultima equazione come segue.

L'uguaglianza deve valere anche in questo caso per le funzioni integrande negli ultimi due membri.

Rotore del campo magnetico

In questa equazione è la corrente di spostamento.

Valgono le considerazioni fatte per il rotore del campo magnetico.

Recuperiamo ora la definizione (IIa.XVIII).

Definizione (IIa.XVIII)

Il rotore di in (x,y) è una misura della circuitazione per unità di area in (x,y), ed è una proprietà locale.

In simboli:

Poniamoci di nuovo in un caso concreto; immaginiamo di trovarci ad una certa distanza da un filo in cui fluisce della corrente di intensità I. Abbiamo già ricavato l'equazione vettoriale per il campo magnetico data dalla legge di Biot-Savart.

Consideriamo una circonferenza di raggio R centrata sul filo carico (una particolare spira ampèriana). Lungo di essa la circuitazione del campo magnetico si riduce a:

L'equazione data dalla definizione (IIa.XVIII) si riduce a:

La corrente per unità di superficie è il vettore , e si ha:

coerentemente con la legge di Ampère non modificata da Maxwell, in quanto non è presente in questo caso alcun campo elettrico che vari nel tempo.

Le equazioni che descrivono il rotore del campo elettrico e magnetico portarono Maxwell ad ipotizzare che, tramite la sua correzione alla legge di Ampère, anche un campo elettrico può generarne uno magnetico (fenomeno di induzione magnetoelettrica, il duale dell'induzione elettromagnetica). L'aggiunta del termine dovuto alla corrente di spostamento permetteva allora, dal punto di vista teorico, di ipotizzare che campi elettrici e magnetici, elettromagnetici a questo punto, potessero propagarsi nello spazio vuoto. Ciò era valido, in linea di principio, anche in assenza di cariche statiche o in moto (cioè di correnti). Questo era il primo abbozzo di una teoria delle onde elettromagnetiche, e fu avanzata da Maxwell nel 1864.

La teorizzazione continuò negli anni seguenti e il primo successo sperimentale arrivò nel 1888 quando Heinrich Rudolf Hertz produsse le prime onde elettromagnetiche previste da Maxwell in laboratorio.

Maxwell era convinto che la luce sia una perturbazione del campo elettromagnetico che si propaga trasversalmente lungo di esso a velocità finita. Questa sua convinzione non era dovuta ad alcuna evidenza empirica diretta, ma si basava su un presupposto teorico (la simmetria tra campi elettrico e magnetico) e veniva suffragata dalle conseguenze del formalismo che aveva sviluppato.

La fisica matematica dell'Ottocento aveva trattato a fondo il problema della trasmissione di onde meccaniche, come il suono, a partire dallo studio sistematico dell'equazione di d'Alembert, che è un'equazione differenziale lineare omogenea alle derivate parziali del secondo ordine.

Equazione delle onde di D'Alembert

Il nabla al quadrato è anche chiamato operatore laplaciano, mentre V è la velocità con cui l'onda si propaga nel mezzo.

Essa ha per soluzione ogni funzione del tipo:

dove a è la pulsazione dell'onda in questione.

Maxwell dimostrò che dalle equazioni dell'elettromagnetismo si può derivare l'equazione di d'Alembert nel caso di campi elettrici e magnetici nel vuoto.

Equazione per le onde elettromagnetiche nel vuoto

In cui al campo elettrico si può sostituire il campo magnetico.

Allora c'era un sistema semplice di verificare la bontà del modello ondulatorio per la luce: identificando le equazioni di d'Alembert nel caso elastico e nel caso elettromagnetico, si dimostra che h e è l'inverso del quadrato della velocità di propagazione dell'onda.

Velocità della luce secondo Maxwell

Questo valore è circa . Léon Foucalt misurò nel 1850 un valore pari a .

Il minuscolo scarto rispetto al valore misurato per la velocità della luce portò Maxwell a concludere: "[.] light is an electromagnetic disturbance propagated through the field according to electromagnetic laws".

Le porte per la fisica del XX secolo si erano dischiuse.

Bibliografia

Keisler, H. Jerome, Elementi di analisi matematica, Padova, Piccin Editore, 1982. Introduzione italiana a cura di R. Ferro, G. Sambin, L. Colussi, A. Facchini, A. Le Donne.

Fleisch, Daniel, A Student's Guide to Maxwell's Equations, Cambridge, Cambridge University Press, 2008.

Bobbio, Scipione - Gatti, Emilio, Elementi di elettromagnetismo, Torino, Bollati Boringhieri, 1984.

Halliday, David - Resnick, Robert - Krane, Kenneth S., Fisica 2 - IV edizione, Milano, Casa Editrice Ambrosiana, 1997, edizione italiana a cura di Pullia A.