Serie di fourier

SERIE DI FOURIER

DEFINIZIONE

Consideriamo una funzione y=f(x) periodica in un periodo T=2p e si supponga che sia continua nell' intervallo [-p p] o, al più, dotata di  punti di discontinuità di 1° o 3° specie nell'intervallo [-p p]. Se sussistono queste due condizioni la funzione y=f(x) è integrabile nell'intervallo [-p p] e sono integrabili (nello stesso intervallo) anche le seguenti due funzioni:

1. y = f(x)cosx ;
2. y = f(x)senx .

Se tutte le condizioni sono verificate allora possiamo definire la seguente serie come la serie di fourier della funzione f(x):

dove a₀, a_k, b_k sono i coefficienti della serie di fourier

il valore di tali coefficienti sono dati dalle seguenti formule:

Stabiliti i valori dei coefficienti è semplice scrivere la serie di fourier, però bisogna tener conto che la serie potrebbe non convergere e, se converge, potrebbe non convergere proprio per y=f(x). A tale proposito sussiste ilseguente teorema:

Teorema di Dirichlet

data una funzione y=f(x) periodica con T=2p. Se f(x) ha nell'intervallo [-p p] un numero finito di punti di discontinuità di 1° e 3° specie, e se l'intervallo può essere suddiviso in un numero finito di intervalli parziali allora la serie di Fourier converge per qualsiasi valore di x, e precisamente:

Se f(x) è continua per qualsiasi valore di x, la sua serie di fourier converge a f(x) per qualunque x;

Se x₀ è un punto di dicontinuità di 1° specie allora la serie di fourier converge a

 ;

Se x₀ è un punto di dicontinuità di 3° specie allora la serie di fourier converge a

.

N.B. Per quanto riguarda il calcolo dei coefficienti si ricorda che trattandosi di calcolo di  integrali definiti in un intervallo simmetrico.

.se f(x) = funzione pari                        sviluppo di soli coseni;

.se f(x) = funzione dispari                   sviluppo di soli seni;

.se f(x) = funzione né pari, né dispari            sviluppo di seni e coseni;