Area del trapezoide

Area del trapezoide

Con il calcolo dell'integrale vogliamo illustrare un metodo più generale per definire e calcolare l'area di superfici piane qualunque, cioè, limitate da contorni curvilinei qualsiasi.

Vogliamo dunque definire e calcolare l'area S della superfici piana delimitata dal grafico di una funzione y = f(x), continua nell'intervallo [a, b], dall'asse x e dalle rette x = a e x =b.

Sia ABCD il quadrilatero mistilineo detto trapezoide, di cui vogliamo determinare l'area.

Divideremo l'intervallo [a, b], in un certo intervallo n di intervalli più piccli, di ampiezza comune n= b-a/n.

Indichiamo con :                      

m₁, m₂, m₃, ., m_n.

I valori minimi assunti dalla funzione f(x) rispettivamente nel primo nel secondo ne terzo e nell'ultimo quadrante di ampiezza h e con : :

M₁, M₂, M₃, ., M_n.

I valori minimi assunti dalla funzione f(x)

L'insieme degli n rettangoli , che hanno come basi gli intervalli di ampiezza h in cui è stato diviso[a, b] e come altezze i valori minimi :

m₁, m₂, m₃, ., m_n

assunti da f(x) in questi rettangoli viene detto plurirettangolo inscritto.

L'insieme degli n rettangoli che, hanno come basi gli intervalli di ampiezza h in cui è stato diviso[a, b], e come altezze i valori massimi:

M₁, M₂, M₃, ., M_n.

assunti da f(x) in questi rettangoli viene detto plurirettangolo circoscritto.

L'area del plurirettangolo inscritto è dunque:

s_n = m₁ h, m₂ h, m₃ h, ., m_n h.

L'area plurirettangolo circoscritto è dunque:

S_n = M₁ h, M₂ h, M₃ h, ., M_n h.

Ovviamente i valori s_n e S_n dipendono dal numero di parti in cui è stato suddiviso l'intervallo[a, b], e semplice quindi capire che quanto è più grande il numero n di divisioni, tanto è migliore l'approssimazione.