Modelli matematici dei frattali

MODELLI MATEMATICI DEI FRATTALI

La geometria frattale è un insieme di modelli matematici usati per descrivere alcune situazioni presenti in natura non riconducibili alla geometria euclidea.

La definizione di frattale non è unica. Esiste una grande varietà di oggetti che vengono definiti frattali ed ognuno ha caratteristiche proprie. Io, ai fini del mio progetto, mi sono interessato dei frattali IFS, LS e di quelli costruiti con la tecnica del condensing poiché sono i modelli più noti e semplici usati per descrivere alcuni casi particolari.

Autosimilarità e Frattali IFS

Non esistendo dunque una definizione unica di frattale io ho scelto, in base agli scopi del mio progetto, quella che indicava come caratteristica necessaria e sufficiente ad un oggetto per essere definito frattale l'autosimilarità. Per autosimilarità si intende la proprietà per cui una parte dell'oggetto è simile all'intero oggetto; si tratta di un oggetto composto da un'unione di copie di se stesso a scale differenti.

In un piano un oggetto autosimile si costruisce applicando ad un insieme A un insieme di N trasformazioni[1]. Il risultato sarà così una famiglia di N sottoinsiemi del piano cartesiano che verranno uniti in un unico insieme A₁. Iterando questa operazione ad A₁ e procedendo analogamente per gli insiemi successivi (A₂, A₃, .) fino all'infinito, si otterrà un oggetto autosimile A_∞.

Questo oggetto è un frattale IFS (Iterated Function System) ovvero un frattale ottenuto iterando un insieme di trasformazioni del piano.

Indicheremo l'insieme che rappresenta il frattale con A_f.

Frattali LS

Il modello IFS, in quanto relativamente semplice, non riesce a comprendere in sé altre situazioni. Venne perciò introdotto il modello LS (Lindenmayer System), il quale comprende il precedente; infatti un frattale LS è una figura che si può dividere in un numero finito di frattali IFS (se questo numero è 1 si hanno gli stessi frattali IFS). Spesso questi frattali non risultano dunque autosimili nella loro totalità, ma soltanto in un senso generalizzato. Ad esempio il fiocco di neve di Koch è un frattale LS ma non IFS; non è possibile suddividere la figura in un numero di copie nella figura stessa (non è autosimile), ma è possibile però dividere la figura stessa in tre copie di un frattale IFS, chiamato merletto di Koch.

Figura Merletto di Koch

Figura Fiocco di neve di Koch (come si può vedere esso consiste in tre merletti di Koch)

Altri modelli

I frattali ottenuti con la tecnica del condensing sono una variante dei frattali IFS molto utile per rappresentare altri modelli "naturali".

La tecnica del condensing differisce dal modello IFS unicamente per il fatto che i vari insiemi ottenuti dall'applicazione dell'insieme di trasformazioni non si sostituiscono fra di loro (il successivo sostituisce il precedente) ma si sommano. Inoltre l'insieme a cui vengono applicate le trasformazioni non è la sommatoria degli insiemi, ma unicamente l'ultimo insieme ottenuto.

Dunque rispetto alla scrittura precedente usata per i frattali IFS va modificato:

Figura disposizione frattale di un ossido metallico in un blocco di arenaria.