GEOMETRIA

DEFINIZIONE GEOMETRICA

Ripartizione di un segmento in due parti che stanno tra loro come la maggiore(a) sta al segmento intero(1); utilizzando I simboli si ha: 1:a=a:b.

Se AB è il segmento dato, si conduca la perpendicolare ad AB nell'estremo B e si prenda su di esso il segmento BO, metà di AB; quindi con centro in O si descriva la circonferenza di raggio OB, che risulterà tangente in B alla retta AB. Si unisca A con O e si chiamino C e D le intersezioni della retta AO con la circonferenza; si porti infine su AB il segmento AE congruente ad AC. Proveremo che AE è il segmento cercato, cioè che sussiste la proporzione:
AB:AE=AE:EB.
Infatti per il teorema della secante e della tangente(se da un punto si conducono ad una circonferenza una secante e una tangente, il segmento determinato dalla circonferenza sulla tangente è medio proporzionale dei segmenti sulla secante e aventi un estremo in quel punto) si ha AD:AB=AB=AC.

Da cui scomponendo si ottiene:

(AD-AB):AB=(AB-AC):AC.
Ma siccome AB è uguale a CD e AC è uguale ad AE si ha pure
AD-AB=AD-CD=AC=AE
AB-AC=AB-AE=EB
Perciò l'ultima proporzione diventa
AE:AB=EB:AE
Da cui invertendo
AB:AE=AE:EB

RETTANGOLO AUREO

Esiste uno speciale rettangolo le cui proporzioni corrispondono alla sezione aurea. Il suo nome è rettangolo aureo. Per costruire il rettangolo aureo su un quadrato di lato a I cui vertici chiameremo, a partire dal vertice di sinistra e procedendo in senso orario, AEDF. Quindi dividere il segmento AE in due segmenti uguali chiamando il punto medio A'. Utilizzando il compasso e puntandolo in A' disegnare un arco che da F intersechi il prolungamento del segmento AE nel punto B. Con una squadra disegnare il segmento BC perpendicolare ad AB. Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo nel quale AB è diviso dal punto E esattamente nella sezione aurea:

AE:AB=EB:AE

TRIANGOLI CON ANGOLI DI 72?, 72?, 36? E 36?, 36?, 108?
Anche in questi due poligoni possiamo trovare il rapporto della sezione aurea.

Disegnato il triangolo isoscele ABC con angoli alla base di 36?, tracciare la bisettrice di uno degli angoli alla base che intersechi il lato obliquo opposto nel punto D. Avremo quindi due triangoli isosceli: il triangolo ABD con angoli di 36?, 36?, 108? e quello BCD con angoli di 72?, 72?, 36?; avremo anche BC=BD=AD.

Il triangolo ABC è simile a quello BCD e quindi:

AC:BC=BD:DC; ma essendo BC=BD=AD, possiamo scrivere:

AC:AD=AD:DC ed ottenere così il rapporto aureo.

Disegnato il triangolo isoscele ABC con angoli alla base di 36?, congiungere il vertice A con il punto D del segmento BC tale che sia DC=BC-AC; otterremo così i due triangoli isoscleli ABD e ACD.

Il triangolo ACD è simile a quello ABC e quindi:

BC:AC =AC:AD; ma essendo AC=BD e AD=DC, possiamo anche scrivere:

BC:BD=BD:DC.

PENTAGONO
All'interno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali(il segmento che unisce due punti non adiacenti) un triangolo dagli angoli con misura 72?, 72?, 36?, con le proprietà spiegate in precedenza. Ogni lato forma, con il punto d'incontro di due diagonali consecutive, un triangolo dagli angoli 36?, 36?, 108?, con le proprietà descritte in precedenza. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una sua diagonale e il punto di intersezione tra due diagonali divide ciascuna di esse in due segmenti che stanno nel rapporto aureo.

SPIRALE AUREA

Se all'interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato di lato uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza sarà anch'esso un rettangolo aureo. Si ripeta l'operazione per almeno cinque volte per avere un effetto visivo adeguato. Si punti il compasso sul vertice del quadrato che giace sul lato lungo del rettangolo e si tracci l'arco che unisce gli estremi dei due lati che formano l'angolo scelto. Si ripete l'operazione per ogni quadrato disegnato in modo da formare una linea

LA SEZIONE AUREA NELLE PIANTE

Se guardiamo al regno dei vegetali, ci colpisce la regolarità delle loro forme e l'infinita varietà. In molti alberi per esempio, i rami sono disposti in modo regolare intorno al tronco, così come molti fiori hanno cinque petali, cinque sepali, la cui distribuzione richiama un pentagono, (proporzione pentagonale), il che porta a chiederci se la sezione aurea sia da cercare anche in questa regolarità.

FIBONACCI Leonardo, matematico di Pisa visse nella seconda metà del XII secolo e nella prima XIII. Compose Il Liber Abbaci, sulla storia degli Indi, aggiungendo qualche nozione di Euclide. Tutto il suo materiale lo riordinò in un organico corpo di dottrina, costituente un'enciclopedia. Questo materiale all'epoca dei comuni fu fonte preziosa per la storia dell'industria, dei commerci e dei rapporti fra i popoli del mediterraneo. In seguito ad alcune conoscenze aggiunse ulteriori sviluppi inseriti nella seconda edizione del suo libro (1228). Nell'opera è citata la numerazione indiana (o araba), prima ignorata in Europa, una diffusa trattazione dei numeri fratti e interi e delle operazioni, secondo il nuovo sistema di numerazione. Per questo è considerato l'introduttore tra noi dei numeri arabi.

SERIE DI FIBONACCI: successione di numeri naturali da 0 in poi, ciascuno dei quali è dato dalla somma dei due immediatamente precedenti (es. 0-1-1-2-3-5-8-13 ecc.)

SERIE DI FIBONACCI IN BOTANICA: essa si trova in molte piante e fiori. Ne è un esempio l'Achille Ptarmica. Ogni ramo impiega un mese prima di biforcare: al primo mese, quindi, abbiamo un ramo, al secondo ne abbiamo 2, al terzo 3, al quarto 5 e così via.

LE FOGLIE sui rami di numerose piante sono disposte in modo da presentare alcuni numeri della sequenza di Fibonacci. Le foglie sono disposte sui rami in modo tale da non coprirsi l'una con l'altra per permettere a ciascuna di esse di ricevere luce del sole. Prendiamo come punto di partenza la prima foglia di un ramo e passiamo di foglia in foglia in senso orario o antiorario, il numero di giri che compiono prima di trovare una foglia sopra quella di partenza corrisponde sempre ad un numero di Fibonacci.

CRESCITA DELLE PIANTE:

Due scienziati del secolo scorso, Von Ettinghansen e Prokorni, hanno trasferito questa successione di Fibonacci alla botanica, traendone la conclusione che, poiché la crescita delle piante avviene mediante divisione delle cellule, le dimensioni fondamentali delle piante di diversa età, negli stessi periodi dell'anno, devono per forza presentarsi come la serie di Fibonacci. In effetti, se misuriamo lo stelo di una pianta da germoglio all'altro, allora troviamo il rapporto AB:BC:CD:DE, ossia la serie sopra citata. Ma questa regola vale a quanto pare non solo per la cresacita del ggermoglio di una pianta, bensì per l'intera ramificazione. Questo fatto si riscontra chiaramente nella foglia del cerfoglio e del finocchio.; anche la lunghezza e la larghezza della foglia di rosa, sono in rapporto aureo. In un piumino le lunghezze degli assi laterali sono fra loro in rapporto come i numeri di serie di Fibonacci e poiché oltretutto questi assi laterali sono sistemati a elica attorno al fust, la loro proiezione su un piano dà una spirale logaritmica. Altri esempi: ritroviamo la sezione aurea in moltissime altre forme del mondo vegetale: la foglia di edera, quella di pioppo, la petunia, il gelsomino, il fior d'arancio e così via, hanno tutti forma pentagonale; il numero delle coste di un cactus ammonta a 5,8,13 , il girasole riproduce la spirale logaritmica nella disposizione dei suoi semi e si potrebbe continuare a lungo: ovunque ritroviamo la serie di Fibonacci.

LE SPIRALI IN NATURA:

I pistilli sulle corolle dei fiori spesso sono messi secondo uno schema preciso formato da spirali il cui numero corrisponde ad uno della serie di Fibonacci. I pistilli sono disposti secondo questi schemi in modo da essere uniformemente sparsi su tutta la corolla e non troppo ammassati al centro. Anche le pigne presentano la spiregaritmica nella disposizioni dei suoi semi. Teniamo comunque conto del fatto che gli esempi citati non rappresentano una regola assoluta, bensì ciò che si verifica di norma e noi tutti sappiamo che in natura vi sono ben pochi casi "normali".