Massimi e minimi relativi. teorema di fermat

MASSIMI E MINIMI RELATIVI. TEOREMA DI FERMAT

Definizione

Si dice che x₀ è un punto di massimo relativo o locale per f(x) se esiste un intorno I(x₀) di x₀ tale che

Analogamente si dice che x₀ è un punto di minimo relativo o locale se esiste un intorno I(x₀) di x₀  :

Un punto x₀  [a, b] che sia un punto di massimo relativo o un punto di minimo relativo si dice un punto di estremo relativo o anche un punto di estremo locale.

Osservazioni

Si noti che sulla definizione di massimo relativo non si richiede che la disuguaglianza sia verificata in tutto l'intervallo [a, b] ma solo in un opportuno intorno I(x₀) di x_0. Evidentemente se  x₀ è un punto di massimo e f(x₀) è il massimo di f(x). Analogo discorso vale per i punti di minimo relativo.

I punti di minimo e di massimo della funzione f, per distinguerli dai punti di estremo relativo, si chiamano punti di minimo assoluto e massimo assoluto. Si noti che:

Ma tale implicazione non si inverte.

TEOREMA DI FERMAT (condizione necessaria di estremo relativo)

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a, b] e supponiamo che f(x) abbia in un punto un estremo relativo. Valgono le seguenti implicazioni:

Dim

Supponiamo, per fissare le idee, x₀ punto di massimo relativo per f(x). Ciò significa che esiste un intorno I(x₀) di x₀ tale che

(*)

Per l'ipotesi 1) in I(x₀) cadono sia punti di [a, b] minori di x₀ sia punti di [a, b] maggiori di x₀ e quindi; essendo  in virtù di (*), si ha:

Passando al limite pere per  si ottiene

  ;

La tesi segue dall'ipotesi 2) che implica .

Osservazione 1

Si noti che:

Ad esempio la funzione  è tale che

Tuttavia sappiamo che f è strettamente crescente in R e quindi sprovvista di estremo relativo

Osservazione 2

Si noti che, dal punto di vista geometrico, il teorema di Fermat afferma che nei punti di estremo relativo che sono interni ad un intervallo, la tangente al diagramma è parallela all'asse x.

Osservazione 3

Si noti che il teorema di Fermat non vale se il punto x₀ di estremo relativo non è interno all'intervallo [a, b]

Ad esempio se x₀ =b e x₀ è un punto di massimo relativo è possibile considerare soltanto il limite sinistro di f in b e, ripetendo lo stesso ragionamento della dimostrazione del teorema si ottiene:

Ne segue che può essere