ProprietÀ notevoli dell'integrale di reimann

PROPRIETÀ NOTEVOLI DELL'INTEGRALE DI REIMANN

Le principali proprietà dell'integrale sono contenute nelle seguenti proposizioni.

1)Prop. distributiva:

Siano f e g due funzioni reali limitate nell'intervallo [a,b] e c₁,c₂ una coppia di costanti reali .

Se f e g sono integrabili in [a,b]

allora:

c₁f + c₂g  è integrabile in [a,b] e

Osservazione

Si noti che dalla propietà distributiva si deduce che:

2)Proprietà additiva:

Sia f una funzione reale limitata e integrabile nell'intervallo [a,b].

ce[a,b] risulta:

3)Proprietà di confronto:

Siano f e g due funzioni reali limitate e integrabili nell'intervallo [a,b].

f(x) g(x)  xe[a,b] T

4) Proprietà del valore assoluto dell'integrale:

Sia f una funzione reale limitata e integrabile nell'intervallo [a,b].

In tale ipotesi anche la funzione |f| è integrabile in [a,b] e risulta.

5) Teorema della media:

Se f è una funzione reale e continua nell'intevallo [a,b] esiste un punto x₀e[a,b] tale che risulta:

Dimostrazione Teorema della media:

Siccome l'integrale di Reimann è l'elemento separatore della somma integrale inferiore e della

somma integrale superiore, allora, per ogni partizione P di [a,b] si ha:

Se inoltre consideriamo la partizione P di [a,b] costituita dai soli punto a e b quindi P= risulta:

s(P)=m(b-a) e S(P)=M(b-a)

dove m e M sono rispettivamente il massimo e il minimo di f in [a,b]

dalle due ipotesi si ha dunque:

e dividendo per b-a:

Abbiamo così ottenuto che il valore medio dell'integrale e cioè il numero reale:

è un numero compreso fra il minimo e il massimo di f in [a,b].

Esiste allora un punto x₀e[a,b] tale che f(x)=y₀ e cioè: