Conseguenze notevoli del teorema di lagrange

CONSEGUENZE NOTEVOLI DEL TEOREMA DI LAGRANGE

Sappiamo che ogni funzione costante in un intervallo è derivabile ed ha derivata identicamente nulla. Viceversa, mediante il teorema di Lagrange, si dimostra il seguente:

TEOREMA (sulle funzioni con derivata nulla)

Sia f(x) una funzione continua nell'intervallo [a,b] e derivabile in . V.s.i.

Dim

Siano con . applicando il teorema di Lagrange alla restrizione di f all'intervallo compatto di estremie si ha:

Dove è un punto interno all'intervallo in questione. Ne segue che

E ciò implica che f è costante in . Il teorema è dimostrato.

CRITERIO DI MONOTONIA

Sia una funzione continua nell'intervallo e derivabile in . V.s.i.

Dim

Siano con . Applicando il teorema di Lagrange all'intervallo si ha

Dove . Ne segue

E ciò per definizione significa che f è crescente in

Dim

essendo f crescente risulta:

E quindi anche

Il teorema è completamente dimostrato.

Osservazione notevole

Dalla dimostrazione del criterio di monotonia si deduce facilmente la seguente implicazione

Tuttavia questa implicazione non si inverte. Consideriamo infatti la funzione strettamente crescente in R. Essendo risulta . Pertanto la derivata di una funzione strettamente monotona può annullarsi in qualche punto.

Osservazione 2

I teoremi di cui ci siamo occupati non valgono in generale se l'insieme di definizione della funzione f non è un intervallo.