La risoluzione delle equazioni di 1° grado

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Distinguiamo nell'equazione il primo membro ed il secondo membro. Il primo membro è tutto quello che è scritto a sinistra del segno =, il secondo membro tutto quello che è scritto a destra del segno =.

2° membro

	1° membro

È possibile spostare gli elementi dell'equazione da un membro all'altro, facendo attenzione però al fatto che quando si cambia posizione si deve cambiare anche il segno del termine spostato. Se al primo o al secondo membro (cioè da uno dei due lati del segno uguale) non resta nessun termine, si scrive . Cambiando di posizione a qualunque termine, non cambia il significato dell'uguaglianza, ad esempio le seguenti equazioni sono tutte uguali:

L'unica differenza è che i termini vengono spostati da un lato all'altro del segno =, facendo attenzione a cambiare il segno.

É possibile anche cambiare il segno a tutti i termini dell'equazione. Anche in questo caso l'uguaglianza non cambia:

e equivale a scrivere la stessa cosa .

Passiamo a vedere come si risolve questa equazione.

Il modo più corretto è quello di lasciare al 1° membro (cioè a sinistra del segno =) solo i termini che contengono l'incognita, nel nostro caso 3x. Gli altri termini si portano al 2° membro ricordandosi di cambiare il segno. Nel nostro caso verrà spostato a destra del segno = e diventerà

3x

Al secondo membro appare un'addizione, , che possiamo svolgere prima di risolvere l'equazione vera e propria,

3x = 6

A questo punto dividiamo tutta l'equazione per il coefficiente della x, cioè ed otteniamo

la prima divisione, cioè , è uguale ad che non andrà scritto davanti alla x. La seconda divisione, è uguale a . Potremo quindi scrivere

x = cioè è la soluzione dell'equazione ed è il valore che bisogna assegnare alla x affinché l'uguaglianza scritta sopra sia verificata. Infatti, se nell'equazione originale al posto della x scriviamo vediamo cosa otteniamo

- 1 = 5, svolgendo la moltiplicazione otteniamo 6 - 1 = 5, cioè 5 = 5. L'uguaglianza è verificata. Se avessimo sostituito alla x un altro valore l'uguaglianza non sarebbe stata vera.

Risolviamo alcuni esempi per comprendere meglio

Es. 1 2x + 8 = 20 - 4

Se sostituiamo alla x otteniamo      

L'uguaglianza è verificata.

Es. 2

Rispetto alle precedenti equazioni ci sono due termini con l'incognita, 4x e 8x. È sufficiente portarli tutti e due allo stesso membro e svolgere l'operazione che appare tra i due coefficienti ( 4 e 8) lasciando invariata l'incognita x. Raggruppiamo i termini con la x al primo membro e i termini noti al secondo membro (attenzione a cambiare il segno quando spostiamo i termini!)

Il primo membro , 4x-8x, si risolve calcolando e lasciando la x come incognita

Quindi essendo possiamo scrivere

    ora si può cambiare di segno a tutta l'equazione e risolvere (abbiamo detto in precedenza che se si cambia il segno a tutta l'equazione, l'uguaglianza non cambia)

Es. 3

Es. 4

Questa equazione presenta delle frazioni. Per risolverla è necessario trovare il minimo comune multiplo tra i tre denominatori (2; 3; 3), che è uguale a e risolvere come una normale espressione frazionaria:

Quando in un'equazione il denominatore ( ) è uguale per tutti i termini al

1° e al 2° membro, può essere eliminato (formalmente moltiplichiamo tutta l'equazione per e il al denominatore si semplifica).

Per cui :