L'interpolazione lineare e il metodo dei minimi quadrati

L'interpolazione lineare e il metodo dei minimi quadrati

Premesse

I dati che si ottengono dalle rilevazioni, non possono sempre essere adoperati così come sono, perché presentato delle imperfezioni o errori o anche delle anomalie; talvolta poi l'insieme dei dati osservati manca di alcuni dati, ossia presenta delle lacune.

Le lacune si presentano assai frequentemente nelle rilevazioni del passato ma, a volte, sono inevitabili anche nelle rilevazioni attuali, o perché nella fase di rilevazione può sfuggire qualche caso, o perché non viene fatta la rilevazione.

Per colmare una lacuna bisogna inserire uno o più dati fra altri dati che sono noti, ossia fare quell'operazione che è detta interpolazione.

Per le discipline letterarie, storiche e giuridiche, interpolare significa inserire parole o frasi nel testo originario di un documento o di una legge.

Nella statistica e in matematica, interpolazione indica, in senso stretto, un procedimento mediante il quale, dati alcuni valori di una variabile x, di cui a sia il minore e b il maggiore, e in corrispondenza altrettanti valori di una variabile y dipende da x, si determinano valori della y per valori della x dell'intervallo [a; b] che siano diverse dalle x date.

Altre volte, invece, interessa determinare valori della y, corrispondenti a valori della x esterni all'intervallo [a; b] e in tal caso al procedimento si dà il nome di estrapolazione. Questo può avere lo scopo di sottoporre a verifica determinate ipotesi o di valutare gli effetti della loro realizzazione. L'importanza dell'estrapolazione è notevole nell'ambito delle serie storiche, perché è il metodo con cui si proietta un fenomeno nel futuro, ossia la base per le previsioni statistiche.

Se le y sono affette da errori, è necessario sostituirle con valori presumibilmente corretti, ossia sostituire le y,effette da circostanze perturbatrici, con valori che prescindono agli effetti di queste.

Il tal caso, al procedimento che risolve tale problema, si dà il nome di perequazione.

I problemi sopra esposti sono sostanzialmente diversi, ma in generale i procedimenti per risolverli sono i medesimi; pertanto useremo la stessa denominazione: quella di interpolazione.

Interpolazione matematica

Quando ci si propone di indagare sperimentalmente la legge di un fenomeno, nel quale intervengano due grandezze x, y simultaneamente variabili, e una dipendente dall'altra, si determinano, mediante esperienze, per certi valori: x_0, x₁,.. x_n della x di un certo intervallo [a; b], i valori corrispondenti y₀, y₁,.. y_n della y.

Rappresentando graficamente i dati rilevati, avremo un idea di quale possa essere l'andamento del fenomeno.

Se si potesse compiere le misure per tutti i valori consentiti alla x, potremmo tracciare con esattezza la curva rappresentatrice del fenomeno considerato.

In pratica però, ci si limita a considerare un gruppo di valori: x_0,  x₁,.. x_n abbastanza prossimi fra loro, in modo che anche i corrispondenti punti A₀, A₁,.A_n siano vicini, e poi si congiungono tali punti con un tratto continuo di linea che costituisce un diagramma ( grafico) approssimato.

È evidente che la funzione:

y = f(x)

rappresenta analiticamente il fenomeno.

Il problema che ci si pone, allora, è trovare una funzione f(x), la più semplice possibile, che sia l'espressione, esatta o approssimata, della funzione incognita    

y= f(x) sull'intervallo [a; b], e tale che nei punti x_0, x₁,.. x_n assuma gli stessi valori di f(x), cioè tale che sia:

f(x₀) = y₀ f(x₁) = y₁ f(x_n) = y_n

I punti x_0, x₁,.. x_n si chiamano punti di interpolazione, e la funzione f(x) si chiama funzione interpolante (della funzione f(x) ).

È evidente l'utilità pratica di possedere un'espressione analitica della funzione y = f(x) del fenomeno in esame; mentre l'esperienza ci ha permesso di misurare i valori: y₀, y₁,.. y_n della y, quando invece è nota la funzione y = f(x) possiamo calcolare (con approssimazione il valore della y che corrisponde qualunque valore della x dell'intervallo [a; b], e con tanta maggiore approssimazione quanto più numerose saranno state le misure sperimentali, su cui si basa la determinazione della funzione y = f(x).

Interpolazione statistica

In statistica l'interpolazione si presenta in una forma simile, ma non identica alla

precedente.

Quando l'insieme di punti a disposizione è numeroso (come accade generalmente in statistica) è poco probabile ( o molto difficile) che essi siano disposti lungo una cerca curva, in generale sono dispersi dando luogo a quella che si chiama una nube di punti.

Quando si considera un insieme numeroso di punti si sostituisce alla interpolazione matematica la cosiddetta interpolazione statistica, la quale invece che passare per i punti dati, passa fra i punti dati.

Si cerca, cioè, una curva che passi il più vicino possibile ai punti osservati. Affinché il problema dell'interpolazione risulti determinato, bisogna fissare certe condizioni.

Nell'interpolazione statistica occorre:

Scegliere il tipo di funzione interpolante;

Fissare un certo criterio di accostamento.

La condizione di accostamento più usata è quella detta: metodo dei minimi quadrati.

Il metodo dei minimi quadrati

Uno dei metodi migliori, e più diffusi, che permettono di stabilire la funzione interpolante è appunto quello dei minimi quadrati.

Date due variabili x e y, della quale conosciamo n coppie (x₁ , y₁), (x₂ , y₂),.. (x_n , y_n), sia y = f(x) la funzione con la quale intendiamo interpolare nel miglior modo possibile i dati. L'espressione analitica di f contiene, oltre alla variabile x, anche dei parametri, che indicano con a, b, c... .Per esempio, se il grafico è una retta, f ha equazione

y = ax + b

Vogliamo determinare i valori a, b, c., in modo che l'interpolazione sia giudicata la migliore in base a un criterio che chiameremo condizione di accostamento.  

DEFINIZIONE

Con il metodo dei minimi quadrati scegliamo i valori numerici dei parametri in modo che risulti minima la funzione S somma dei quadrati degli errori relativi e_i :

Se la funzione S è derivabile rispetto a tutti i paramentri, si può dimostrare che la condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di un minimo è che tutte le derivate parziali di S, rispetto ad a, b, c., siano nulle. Per cercare i parametri, dobbiamo risolvere il sistema:

L'indice quadratico relativo

Determina la funzione interpolante, si può poi stimare quanto i valori teorici si avvicinano a quelli rilevati, mediante degli indici di scostamento. Più un indice di questo tipo assume valore piccolo, tanto migliore è l'accostamento e la funzione è idonea a rappresentare il fenomeno.

Un indice utilizzato è l'errore standard:

che ha tuttavia il difetto di essere un indice assoluto, in quanto non tiene conto del fatto che i valori di y_i e f(x_i) siano grandi o piccoli. Di solito si preferisce l'indice quadratico relativo, dato dal rapporto fra l'errore standard e la media fra i valori teorici:                              

A seconda del problema a cui si riferiscono i dati, uno stesso valore di I può indicare una interpolazione più o meno accettabile.

Di solito supporremo che una funzione fornisca una buona interpolazione se risulta I≤0,1. In ogni caso l'indice è particolarmente utile per confrontare la bontà dell'accostamento, rispetto agli stessi dati, di funzioni interpolanti diverse.