La vita è limitata...il limite finito

La vita è limitata...il limite finito

Il concetto limite in matematica è proprio del calcolo infinitesimale, e permette di esprimere il comportamento di una funzione quando la sua variabile indipendente x tende indefinitamente a un valore prefissato. Il concetto, formalizzato in modo rigoroso nel XIX secolo da Cauchy e Weierstrass, era già comparso in forma embrionale nella matematica greca e, successivamente, negli scritti di Eulero.

Definizione

Data una funzione reale di variabile reale y = f(x), il valore L è il limite di f(x) per x che tende a x₀, se vale la seguente proprietà: presa una qualunque quantità positiva, esiste δ (una quantità dipendente da ), tale che per tutti i valori di x che soddisfano la relazione |x - x₀| minore di δ, vale la disuguaglianza: |f(x)-L| <

Se una funzione è continua in un suo punto, il limite per x che tende a x₀ coincide con il valore f(x₀) che la funzione assume in quel punto cioè y = f(x) continua in x₀ quando limite di f(x) per x che tende a x₀ è uguale a f(x₀). Se invece la funzione non è continua nel punto x₀, a seconda della natura della discontinuità il limite per x che tende a x₀ può assumere un valore finito diverso da f(x₀), oppure può tendere all'infinito.

In particolare

I punti in cui una funzione non è continua si dicono punti di discontinuità. Si dice punto di discontinuità di una funzione reale di variabile reale f un punto appartenente al dominio di definizione di f ma in cui f non è continua.

Comunemente, viene considerato punto di discontinuità anche un punto che non appartiene al dominio di f, ma appartiene alla parte interna della chiusura di f (in pratica un punto per cui abbia senso definire un limite destro e un limite sinistro di f). In particolare, presa una funzione f(x) definita in un intervallo [a,b] (tranne al più in x₀) e considerando un punto x₀ appartenente allo stesso intervallo, la funzione presenterà in quel punto:

     una discontinuità di prima specie (o punto singolare) se il valore del limite destro, per x tendente a x_0, è diverso dal valore del limite sinistro (graficamente la funzione presenterebbe un salto);

     una discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due limiti, per x tendente a x_0, è infinito (sia positivo che negativo) oppure non esiste;

     una discontinuità di terza specie (o discontinuità eliminabile) se esistono uguali e finiti i limiti destro e sinistro, per x tendente a x_0, ma il loro valore è diverso da f(x₀) o x₀ non è nel dominio della funzione.

Discontinuità di prima specie (o di salto)

Un punto x₀ si dice di discontinuità di prima specie quando il limite destro della funzione, per x che tende a x_0, è diverso da quello sinistro, pur essendo entrambi valori finiti. Ovvero:

La discontinuità viene comunemente definita "di salto" perché l'aspetto del grafico è quello di un salto nel punto di discontinuità. Un tipico esempio si ha nel caso della funzione definita per che vale sempre 1 per x positivi e -1 per x negativi e fa un "salto" in x = 0.

Discontinuità di seconda specie (o essenziale)

Un punto x₀ si dice di discontinuità di seconda specie quando il limite della funzione per x che tende a x₀ da destra e/o da sinistra, tende ad infinito o non esiste affatto. Quindi

oppure quindi

Un esempio con il limite infinito può essere la funzione che vale per o dalla funzione tangente. Un esempio in cui il limite non esiste è dato dalla funzione per .

Discontinuità di terza specie (o eliminabile)

Un punto x₀ si dice di discontinuità di terza specie quando il limite destro della funzione, per x che tende a x_0, è uguale a quello sinistro, con entrambi valori finiti, ma diversi dall'eventuale valore di f in x₀. Ovvero, se :

La discontinuità viene comunemente definita "eliminabile" in quanto è sufficiente modificare opportunamente il valore da assegnare alla funzione nel punto di discontinuità per renderla continua in quel punto oppure, nel caso che x₀ non sia nel dominio, estendere la funzione assegnandogli in x₀ il valore del limite.

Un tipico esempio è dato dalla funzione che a priori è definita solo per ma si può estendere ad una funzione continua in 0 ponendo f(0) uguale al suo limite in 0, cioè 1.