L'eredità dell'Ottocento

L'eredità dell'Ottocento

Par. 1) Sviluppi dell'analisi

Nel XIX secolo l'analisi matematica costituì un campo di ricerca molto importante cui si dedicarono vari pensatori. Nel 1821 il matematico francese Augustin-Louis Cauchy propose un nuovo approccio al calcolo infinitesimale, formulato in funzione di sole quantità finite e del concetto di limite, in modo che soddisfacesse tutte le esigenze di rigore precedentemente emerse. Tale formulazione pose però il problema della definizione logica di numero reale. Fu il tedesco Julius W.R. Dedekind a trovare una definizione esauriente di quest'ultimo concetto, espressa in termini di numeri razionali. Tale definizione, comunque, fu in seguito affiancata da altre proposizioni introdotte dai matematici tedeschi Georg Cantor e Karl T.W. Weierstrass.

Il matematico tedesco Peter G.L. Dirichlet propose la definizione tuttora riconosciuta di funzione:

DEFINIZIONE DI FUNZIONE

Oltre a rafforzare le fondamenta dell'analisi, i matematici del XIX secolo compirono importanti progressi in questo campo della matematica: all'inizio del secolo Carl Friedrich Gauss si occupò della definizione dei numeri complessi, che in seguito costituirono un nuovo campo del calcolo infinitesimale, al quale lavorarono Cauchy, Weierstrass e il matematico tedesco Georg B. Riemann.

Un'altra importante conquista dell'analisi fu lo studio di Fourier delle serie infinite a termini trigonometrici, che rappresentano ancor oggi potenti strumenti della matematica pura e applicata.

Par. 2) Le geometrie non euclidee

Un'altra importante scoperta del XIX secolo, accolta dapprima con accuse di scarsa concretezza e inutilità, fu quella delle geometrie non euclidee, nate dalla negazione del quinto postulato di Euclide (secondo cui per un punto esterno a una retta passa una e una sola retta parallela a quella data). Il primo matematico a interessarsi dello sviluppo delle geometrie non euclidee fu il tedesco Carl Friedrich Gauss, che però temette le controversie che la pubblicazione dei suoi studi avrebbero potuto suscitare. Le geometrie non euclidee vennero studiate in generale da Riemann, i cui studi trovarono importanti applicazioni nella teoria della relatività sviluppata da Albert Einstein nel XX secolo.

Par. 3) L'algebra

Notevoli progressi furono fatti anche nel campo dell'algebra, che si trasformò da studio dei polinomi a studio della struttura dei sistemi algebrici. Un rilevante passo avanti in questa direzione fu lo sviluppo dell'algebra simbolica che ebbe luogo in Inghilterra, per merito di George Peacock.

Friedrich Gauss dimostrò nella sua tesi di dottorato il teorema fondamentale dell'algebra, oggi così formulato:

TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ALGRBRA

Par. 4) L'aritmetica

Un enorme contributo alla matematica in genere si deve a una formulazione rigorosa degli assiomi dell'aritmetica. Nel 1889 il matematico italiano Giuseppe Peano si occupò di stabilire cinque assiomi che ancora oggi costituiscono i fondamenti della scienza dei numeri.

ASSIOMI DI PEANO

Il quinto assioma di Peano è equivalente all'odierno principio di induzione se assunto con la seguente formulazione:

PRINCIPIO DI INDUZIONE