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Definizione 1
Sia f(x) una
funzione definita in un intervallo I e I.
Il rapporto:
con x
I-
si chiama
rapporto incrementale di f relativo al punto .
Si dice che
la funzione f è derivabile in se il rapporto
incrementale di f relativo ad
è convergente in
e, in tale ipotesi, il
limite
si chiama la derivata
di f in
e si denota con uno
dei seguenti simboli:
; D
;
(
).
In conclusione
è
purché il limite del secondo membro esista e sia finito.
Definizione 2
Sia f(x) una
funzione definita in un intervallo I
e .
I limiti: ;
se esistono finiti si
chiamano rispettivamente la derivata sinistra e la derivata destra di f in
e si denotano con uno
dei simboli:
(
) ;
;
(
) ;
.
In conclusione :
(
)
;
(
)
.
Osservazione
E' evidente che vale la seguente equivalenza
( f
derivabile in)
(
(
)=
(
)=
)
Conseguentemente:
((
)
(
))
(f non è derivabile
in
)
Definizione 3
Si dice che
la funzione f è derivabile
nell'intervallo I se f è derivabile in ogni punto di I. In tal
caso la funzione xI
f'(x) si chiama la
derivata della funzione f nell'intervallo I e si denota con uno dei
simboli f', Df,
oppure anche f'(x),
Df(x),
(x).
La nozione di derivata si generalizza mediante la seguente definizione:
Definizione 3 (generalizzata)
Sia f(x) una
funzione definita in un intervallo I e I. Se accade che
=
si dice che
la funzione f ha in derivata infinita.
Osservazione 1
Una volta
data questa definizione se f è derivabile in e
R si dice anche che f ha derivata finita.
Osservazione 2
Se nel
rapporto incrementale di una funzione f :
poniamo h=x-, risulta:
=
e quindi
=
.
Analogamente,
posto, si ha
=
.
Tali
notazioni sono utili quando si voglia calcolare la derivata di f in un punto di
I che non si voglia precisare. Infatti =
.
.
La
differenza si chiama incremento
della funzione f.
Ciò è il
motivo per cui la funzione si chiama rapporto
incrementale.
Proposizione
Sia f(x) una
funzione definita in un intervallo I e I. V.s.i.
(f derivabile in )
(f continua in
)
Dim
Conseguentemente (aggiungo e sottraggo f(x0))
.
ESEMPI
se c è una costante reale risulta Dc=0
infatti
se f(x)=c , si ha:
e
quindi
risulta
Dx=1 .
posto
f(x)0x si ha:=
=
=1
e quindi
Dx==
=1.
Risulta
e cioè la funzione f(x)=
ha in 0 derivata infinita
infatti: .
La
funzione non è derivabile nel
punto 0.
infatti
conseguentemente e
ciò implica che
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