Integrale definito, Integrale indefinito

Integrale definito

L'area compresa fra la curva e l'asse delle x si chiama integrale definito (o semplicemente integrale) della funzione che rappresenta la curva, calcolato fra i due punti a e b in cui l'area risulta delimitata e si scrive :

E' interessante notare che il simbolo di integrale non è altro che la stilizzazione della lettera greca sigma che in matematica ha il significato usuale di sommatoria. Ciò ad indicare appunto che l'integrale è una sommatoria.

Il calcolo di un integrale utilizzando il metodo sopra esposto è molto complesso e spesso ci si deve accontentare di risultati approssimati relativi alla somma di un numero di termini non infinito. Con l'uso del computer, però, si possono raggiungere precisioni altissime in tempi di elaborazione molto piccoli.

03 - Integrale indefinito.

In certi casi, per calcolare un integrale definito, è possibile utilizzare un particolare oggetto matematico che mette in relazione la derivata con l'integrale. Questo oggetto si chiama integrale indefinito (oppure primitiva) ed è, per così  dire, l'operazione inversa della derivata.

Se f(x) è una funzione, indichiamo con g(x) quella funzione la cui derivata prima eguaglia f(x), cioè tale che g ' (x) = f(x). La funzione g(x) si chiama integrale indefinito di f(x) e si indica con :

Si noti che il simbolo dell'integrale indefinito è lo stesso dell'integrale definito ma senza gli estremi di integrazione.

Orbene, se si conosce l'integrale indefinito di  f(x) si può calcolare facilmente ed in maniera esatta l'integrale definito. Basta fare la semplice sostituzione :

dove naturalmente g(a) e g(b) indicano i valori che si ottengono sostituendo alla x dell'integrale indefinito g(x) rispettivamente a e b.