Insiemi numerici e progressioni

INSIEMI NUMERICI E PROGRESSIONI

La parola insieme è sinonimo di aggregato, cioè un raggruppamento di oggetti , persone simboli, numeri o cose aventi una proprietà caratteristica comune (es. alunni di una classe, i numeri dispari, gli abitanti di una stessa città ecc.).

Il concetto di insieme è astratto, è cioè, un concetto primitivo, non definibile; gli elementi di un insieme si indicano con lettere minuscole: a, b, c; mentre gli insiemi con lettere maiuscole A, B, C.

Considerando per scontate tutte le caratteristiche di cui godono gli insiemi, consideriamo un particolare tipo di insiemi: gli insiemi numerici.

Il numero naturale serve a contare la quantità di elementi contenuti in un insieme finito; l'insieme dei numeri naturali si indica con N;

Detto insieme ammette come primo numero lo zero, ma non ammette l'ultimo numero; ammette quindi un numero illimitato di elementi; per indicare un numero dell'insieme si usa la lettere minuscola: a, b, c,., x, y, z.

Eguaglianza: due numeri naturali a e b si dicono eguali quando le unità che compongono il primo sono tante quante quelle del secondo.

Tale eguaglianza gode delle seguenti proprietà:

• Riflessiva: "ogni numero è uguale a se stesso".

Se a = a

• Simmetrica: "se un numero è uguale ad un altro, questo è uguale al primo".

Se a = b anche b = a

• Transitiva: "due numeri eguali ad un terzo sono uguali tra loro".

Se a = b e c = b anche a = c

Disuguaglianza: due numeri che non siano eguali si dicono diseguali.

Un numero naturale è più piccolo di un altro quando nella successione ordinata dei numeri naturali N precede l'atro.

Invece un numero naturale è più grande di un altro quando nella successione ordinata dei numeri lo segue.

La disuguaglianza gode della seguente proprietà:

• Transitiva"se un numero è maggiore di un altro e questo è maggiore di un terzo allora il primo è maggiore del terzo".

Se e allora

Legge di esclusione: "Dati due numeri naturali si verifica uno ed uno solo dei seguenti tre casi":

   

Il verificarsi di uno di questi tre casi escludi gli altri due

ADDIZIONE

Questa è un'operazione sempre possibile nell'insieme dei numeri naturali N e vi è sempre un risultato unico, cioè:

a + b = c

es: 3+4=7

Per questo si dice che l'addizione è una legge di composizione interna:

Definizione: "Dicesi legge di composizione interna in un insieme E la corrispondenza creata da una certa operazione che associ ad ogni coppia ordinata di elementi E un determinato elemento anch'esso appartenente ad E".

Proprietà dell'addizione:

• COMMUTATIVA: "scambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia".

a + b = b + a

• ASSOCIATIVA: "La somma di più numeri non cambia se a due o più addendi si sostituisce la loro somma".

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

• "Lo zero è l'elemento neutro dell'addizione perché sommato ad ogni altro numero naturale lo lascia inalterato".

a + 0 = a

MOLTIPLICAZIONE

Tale operazione è sempre possibile nell'insieme dei numeri naturali ed a risultato unico:

con

Proprietà della moltiplicazione:

• COMMUTATIVA:

• ASSOCIATIVA:

• DISTRIBUTIVA:

• "Il numero uno è l'elemento neutro della moltiplicazione, perché moltiplicato per un qualunque numero naturale lascia quest'ultimo inalterato":

• Legge di annullamento: ! un prodotto è nullo se e solo se almeno uno dei fattori è nullo":

se e solo se a = 0 o b = 0

LA SOTTRAZIONE

La sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione; essa non è sempre possibilie con i numeri naturali ed è vincolata alla condizione che il minuendo a sia maggiore o uguale al sottraendo b. Per tale motivo si dice che la sottrazione non è una legge di composizione iterna, ovunque definita in N.

La sola proprietà dicui gode è:

• Proprietà invariantiva: "la differenza tra due numeri naturali non cambia se ad entrambi si addiziona o si sottrae uno stesso numero".

con

con

LA DIVISIONE

La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione. Essa non è sempre possibile nell'insieme N dei numeri naturali; il divedendo deve essere sia multiplo del divisore e questo deve essere diverso da zero

Es: 10 : 2 = 5; 24 : 3 = 8

Dividere un numero naturale a per un altro b significa trovare un terzo numero naturale c che moltiplicato per b dia per prodotto il primo

a : b = c se e solo se c x b = a, con

Inoltre nella divisione è sempre scusa la divisione per zero, perché priva di significato e come la sottrazione non è una legge di composizione interna ovunque definita in N. Infatti essa è definita solo per le coppie ordinate di numeri naturali in cui il dividendo è multiplo del divisore.

POTENZA

Comunemente, l'elevamento a potenza si definisce come prodotto di un certo numero di fattori uguali:

In generale

a^b = a · a · a · . · a (b fattori).

Definendo la potenza in questo modo, però, a⁰ e a¹ non hanno senso, e si debbono fare opportune convenzioni per estendere anche a questi casi la definizione di potenza.

Possiamo scrivere così la definizione di potenza con esponente maggiore o uguale a 1:

Definizione:

a¹ = a, aⁿ = a^n-1 · a ; a⁰ = 1.

Ritroviamo dunque la potenza a^b, con b > , come prodotto di b fattori uguali ad a.

Proprietà delle potenze:

a^{m .} aⁿ = a^{m + n}

(a ^. b)ⁿ = a^{n .} bⁿ

(a^m)ⁿ = a ^{m n}

(abc)ⁿ=aⁿbⁿcⁿ;

(a:b)ⁿ=aⁿ:bⁿ

MASSIMO COMUNE DIVISORE E MINIMO COMUNE MULTIPLO

Un numero p I N si dice primo se ammette come divisori solo 1 e p.

Se un numero non è primo, e quindi ammette almeno un divisore diverso da 1 e da sé stesso, si dice composto.

Nell'insieme N i numeri primi sono particolarmente importanti perché ogni numero naturale può essere espresso come prodotto di numeri primi; questa scrittura prende il nome di fattorizzazione in fattori primi, e questa fattorizzazione è unica (Teorema fondamentale dell'aritmetica).

Il Massimo Comun Divisore di due o più numeri si ottiene scomponendo i numeri in fattori primi e moltiplicando tra di loro solo i fattori comuni elevati al minimo esponente.

Quando MCD (a, b) = 1, si dice che a e b sono primi fra loro (cioè non hanno fattori primi in comune).

Il minimo comune multiplo di due o più numeri si ottiene scomponendo i numeri in fattori primi e moltiplicando tra loro i fattori comuni e non comuni elevati al massimo esponente.

Esempio

MCD (12, 54, 18) = 6

mcm (4, 7, 98) = 196

Dati i numeri naturali a, b (con a b, b ), esistono un solo numero naturale q e un solo numero naturale r tali che

a = bq + r, con r < b.

Se risulta r = 0, è possibile la divisione esatta.

Un numero si dice pari se è multiplo di 2 e lo si può indicare con 2n, nIN, dispari altrimenti, in tal caso lo si indica con 2n +1, o con 2n-1, nIN

Numeri interi

I numeri interi, detti anche interi relativi, sono 0,

Definizione: un numero intero relativo è una coppia formata da un segno, + o -, e da un numero naturale (+0 = -0: solo in questo caso c'è coincidenza).

E' possibile estendere ai numeri interi tutte le proprietà viste per i naturali.

Definizione: si dice valore assoluto di un numero intero relativo, il numero stesso privato del suo segno; il valore assoluto di un numero è quindi un numero positivo.

Definizione: la somma di due numeri a e b di ugual segno è un numero dello stesso segno; il suo valore assoluto è la somma dei valori assoluti di a e b. La somma di due numeri c e d di segno diverso è un numero che ha il segno dell'addendo di valore assoluto maggiore; il suo valore assoluto è la differenza dei valori assoluti di c e d.

Esempio

L'insieme dei numeri interi si indica con Z, e in esso si può sempre eseguire la differenza tra due numeri qualunque. (cosa che non era possibile eseguire in N)

In questo insieme valgono tutte le proprietà viste per N e inoltre per ogni zIZ esiste un elemento che si dimostra essere unico e si indica con -z, tale che z + (-z) = 0.

Quanto a 0, chiamiamo suo opposto zero stesso, dato che 0 + 0 = 0. Invece in N solo 0 ammette l'opposto (0 stesso).

Definizione: il prodotto di due numeri relativi, in valore assoluto, deve essere il prodotto dei loro valori assoluti:

| a b a b

Resta da determinare il segno del prodotto, come è spiegato nella regola seguente

+a·(+b) = +ab;

+a·(-b) = -ab;

-a ·(+b) = -ab;

-a ·(-b) = +ab;

È molto importante osservare che quando scriviamo -b, +ab, -z con a, b, z interi, non stiamo affermando che il primo e il terzo sono numeri negativi, ed il secondo positivo. Ad esempio, potrebbe essere b = -2, a = 4, z = 5. Allora -b>0, +ab<0, -z<0.

Rappresentazione dei numeri interi

Data una retta r, fissiamo su di essa un verso. Una retta su cui sia stato fissato un verso si dice orientata. La freccia indica un verso che diciamo positivo; il verso opposto è detto negativo.

Ora sulla retta orientata r fissiamo un punto O a cui associamo il numero 0, segniamo poi a ugual distanza l'uno dall'altro i punti A,B,C, .. associando ai numeri negativi i punti che precedono O nel verso prefissato. In tal modo abbiamo una corrispondenza tra l'insieme Z e i punti della retta r. Essa però non è una biiezione; vi sono infatti punti di r che non sono immagine di alcun elemento di Z.

NUMERI RAZIONALI

Un'unità può essere sempre divisa in un numero qualunque di parti uguali.

Dicesi frazione o numero frazionari, l'insieme di una i più unità frazionarie dello stesso non e si indica con il simbolo:

Il primo numero si dice numeratore, mentre quello inferiore denominatore.

Mentre dicesi numero intero, un numero che non ha il denominatore: Z = ( 0, 1, 2,.,n )

• Principio di permanenza delle proprietà formali: nel nuovo insieme si devono definire le operazioni fondamentali in modo che esse conservino tutte le proprietà formali di cui godevano
• Principio di isomorfismo: Nel nuovo insieme deve esistere un sottoinsieme dei numeri a ciascuno dei quali si può associare biunivocamente un numero dell'insieme primitivo in modo che ad ogni risultato di una operazione sui numeri di tale sottoinsieme si possa associare un risultato dell'operazione eseguita sui corrispondenti numeri primitivi.

Dicesi frazione decimale una frazione che ha come denominatore 10 o una sua potenza

Ovviamente ogni frazione si può trasformare in un numero decimale e ogni numero decimale si può trasformare in una frazione.

Esercizi

Scrivere il più piccolo numero naturale che abbia come divisori distinti da 1 e sé stesso i Numeri 2, 3, 11.                                  

E' possibile trovare un numero n i cui unici divisori distinti da 1 e da sé stesso siano 2, 3, 11.                           

Dire, senza eseguire i calcoli, se le seguenti uguaglianze possono essere vere, e per quali proprietà:

In N la divisione gode della proprietà commutativa?                        

Scrivere tre numeri negativi il cui valore assoluto non sia maggiore di |-5| e due numeri positivi maggiori di |-2|.

Scrivere due coppie di interi concordi e due discordi.

Verificare con qualche esempio la proprietà associativa dell'addizione.

PROGRESSIONI

Definizione.

Si dice progressione aritmetica (o per differenza) una successione di numeri tale che sia costante la differenza fra un qualunque numero e il suo predecessore.

Esempio:

I termini successivi di una progressione si possono indicare così (lettere minuscole con indice):
a₁ , a₂ , a₃ , , a_n ,

a₁ è il primo termine della progressione.

La differenza costante, che nell'esempio numerico è 3, si chiama ragione della progressione aritmetica e si indica con d.

Possiamo quindi definire una progressione così:

a_n = a_n-1 + d

Formula per calcolare il termine n-esimo di una progressione aritmetica conoscendo il primo termine e la ragione.

a_n= a₁ + (n - 1)d

Formula per calcolare la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica.

S = n(a₁ + a_n)/2

Ovvero

S = n(a₁ + a₁ + (n - 1)d)/2

Incontro di due progressioni aritmetiche:
Si hanno due progressioni aritmetiche.
La prima parte da 4 e ha ragione 3.
4, 7, 10, 13,

La seconda parte da 6 e ha ragione 1.
6, 7, 8, 9,

Dopo un certo numero di termini (n) le due successioni hanno la stessa somma (S).
Trovate n, S.

Il caso generale
Si hanno due progressioni aritmetiche.
La prima parte da a e ha ragione b.

a, a+b, a+2b,

La seconda parte da c e ha ragione d.

c, d+d, c+2d,

Dopo un certo numero di termini (n) le due successioni hanno la stessa somma (S).
Trovate n, S.

Se esprimiamo questo problema come P(a, b; c, d), risolvete i seguenti casi:

P(2, 3; 3, 2)
P(5, 6; 10, 3)

FUNZIONI ELEMENTARI

Siano A e B due insiemi, non vuoti, distinti o identici, possiamo indicare con x (oppure a) un elemento qualsiasi di A e con y (oppure b) un elemento di B; x ( o a) si chiama elemento generico di A o anche variabile indipendente; y (o b) elemento generico di B o variabile dipendente.

Se esiste una legge, che ad un elemento di associ un elemento , si dice che la legge stabilisce una relazione primaria detta funzione, fra elementi dell'insieme di partenza A e quelli dell'insieme di arrivo B.

Tale relazione si indica con f (oppure g, h) e si ha:

Inoltre si dice che nella funzione f, ad ogni , corrisponde e si scrive:

oppure

L'elemento si dice immagine di

Ogni elemento e il suo corrispondente , se esiste:

Determina una coppia ordinata di elementi che si indica con:

Es: x ha come capitale y..è una funzione. Infatti ad ogni stato. corrisponde una ed una sola capitale

Definizione: "Una relazione f tra gli elementi di A ed elementi di B, si dice funzione, se ad ogni elemento di x di A è associato al più un elemento di y.

Il sottoinsieme formato dagli elementi di A per i quali esiste l'immagine y = f(x) in B si chiama insieme di definizione o insieme di esistenza della funzione f.

Il sottoinsieme degli elementi di B che sono corrispondenti a qualche elemento di A dicesi immagine della f e si indica con:

FUNZIONI NUMERICHE

Quando gli elementi degli insieme A e B, non vuoti, tra i quali è definita una funzione sono numeri si dice che la funzione è numerica.

Ogni espressione algebrica ad una variabile definisce una funzione numerica.

es: f(x) = 2x - 3; g(x) = x + 1

Ad ogni valore attribuito alla variabile indipendente x corrisponde un numero chiamato valore numerico dell'espressione.

Studio di una funzione numerica:

• Una funzione f(x), definita in un certo insieme A di valori numerici della variabile x, si dice strettamente crescente in A se, per ogni a e b appartenenti ad A e tali che:

si ha

si dice strettamente decrescente se per ogni:

si ha

si dice costante se per ogni:

si ha

• Si dicono lineari tutte le funzioni che godono della seguente proprietà:

Es: sono lineari le funzioni numeriche del tipo:

con

• La funzione lineare (con ):

y = a x

è crescente se a è positivo, è decrescente se a è negativo

• Ogni funzione del tipo:

si dice funzione affine.

Essa: è crescente per a positivo

è decrescente per a negativo

è costante per a nullo

COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO

Nella GEOMETRIA ANALITICA si fa sempre un riferimento rispetto al piano cartesiano Oxy; questa riguarda lo studio della retta, delle trasformazioni lineari piane e delle coniche. E' importante sapere che nella Geometria Analitica ad ogni equazione corrisponde un particolare luogo geometrico. Un piano cartesiano è formato da due rette orientate e perpendicolari. La retta orizzontale e detta asse delle X o ascissa, la verticale è detta asse delle y o ordinata; il loro incontro si indica con O (origine) che ha coordinate O(0; 0); ad ogni punto su di un piano cartesiano viene associata un'ascissa e un'ordinata P(x; y) , x è l'ascissa del punto P e y l'ordinata. Sull'asse delle x verso destra da O troviamo i numeri positivi, verso sinistra i negativi; sull'asse delle y verso l'altro rispetto a O troviamo i positivi, verso il basso i negativi. Il piano cartesiano si divide in quattro quadranti:

1) Il primo ha ascissa e ordinata positiva; 

2) Il secondo ha ascissa negativa e ordinata positiva; 

3) Il terzo ha ascissa negativa e ordinata negativa; 

4) Il quarto ha ascissa positiva e ordinata negativa.

Siano date nel piano, due rette orientate, perpendicolari x e y, che diremo asse x e asse y e sia scelto un verso per ciascuna delle due, come positivo, da sinistra verso destra per il primo asse e come positivo dal basso verso l'alto per il secondo. Il loro punto di intersezione O si chiama origine degli assi; le due rette dividono il piano in quattro angoli detti quadranti: primo, secondo, terzo e quarto.

L'insieme delle due rette orientate, dell'origine e dei vettori unitari è detto sistemai di assi cartesiani ortogonali (perpendicolari) e si indica con il simbolo xOy.

L'insieme dell'ascissa e dell'ordinata si dicono coordinate del punto P e si indicano:

P ( a, b )

Ad ogni punto del piano cartesiano corrisponde quindi una e una sola coppia ordinata di numeri, di cui il primo è l'ascissa e il secondo è l'ordinata del punto.

L'ascisse ha coordinate nulle: O ( 0, 0 )

Ad ogni coppia di numeri (a, b) corrisponde uno ed uno sol punto del piano.

1. Tutti i punti dell'asse x hanno ordinata nulla; l'insieme di tutti questi punti si indica con:

y = 0; es: P ( 4; 0 ).

2. Tutti i punti sull'asse delle y hanno ascissa nulla

es: F ( 0; 3 )

3. Tutti i punti posti su una stessa retta s parallela all'asse x, ad esempio T, R, S,., hanno ordinate eguali; l'insieme di tutti questi punti si indica con:

y = b

4. Tutti i punti posti su una retta r parallela all'asse y hanno ascisse uguali; l'insieme di tutti questi punti si indica con:

x = a

5. La retta bisettrice del primo e terzo quadrante è l'insieme dei punti equidistanti dagli assi e l'equazione della retta sarà:

y = x

6. Analogamente la retta bisettrice del secondo e quarto quadrante ha come equazione della retta:

y = - x

7. Tutti i punti di una retta passante per l'origine O sono tali che è costante il rapporto fra l'ordinata e l'ascissa di ciascuno di essi; se tale rapporto costane è a l'equazione della retta sarà:

y = a x

Per quanto riguarda la rappresentazione diremo che: ogni punto di cui l'ascissa è un numero appartenente all'insieme di definizione della funzione e l'ordinata è il valore corrispondente della funzione si chiama punto rappresentativo della funzione; l'insieme di tutti i punti rappresentativi è il grafico della funzione: y = f ( x ).

Il grafico di una funzione affine: y = a x + b è una retta.

Per costruire il grafico di tale retta è necessario avere il punto:

A = ( x; y ) e il punto B = ( x; y )

Il grafico di una funzione lineare y = a x è una retta passante per l'origine degli assi;

Se a è positivo, appartiene al primo quadrante e la retta può passare per il primo e per il terzo quadrante.

Se a è negativa appartiene al quarto quadrante e la retta può passare per il secondo e quarto quadrante.

Rette simmetriche: a due valorei opposti di a es: ( 2 ); ( - 2 ) corrispondono due rette simmetriche rispetto all'asse delle x e delle y ; al crescere dei valori di ala retta ruota intorno al punto O in senso antiorario.

Rette perpendicolari: se assegniamo ad a due valori numerici reciproci, ma opposti (antireciproci) es: ( 2 ); ( -) avremo due funzioni:

y = 2 x

Diremo che queste due funzioni corrispondono a due rette perpendicolari

Rette parallele: si dicono rette parallele, le rette che hanno lo stesso coefficiente angolare.

Per meglio capire i nostri discorsi dobbiamo parlare di GRAFICO DI UNA FUNZIONE NUMERICA

Data una funzione, si dirà che ogni punto di cui l'ascissa è un numero appartenente all'insieme di definizione della funzione e l'ordinata è il valore corrispondente dalla funzione, si chiama punto rappresentativo della funzione; l'insieme di tutti i punti rappresentativi della funzione si chiama grafico della funzione.

Y = a x + b

Per avere una rappresentazione grafica di tale retta è sufficiente costruire due punti da assegnarsi ai valori della x e della y.

La a corrisponde al coefficiente angolare m, il cui valore si esprime in radianti; la c esprime l'intercetta con l'asse delle y