IL
POSTULATO DELLE PARALLELE di Riemann
Questo pensiero fu seguito da riflessioni
sul postulato delle parallele che erano simili a quelle di Lobacevskij e di
Bolyai ma che in questo caso condussero a una conclusione diversa. Quando R si
muove verso sinistra lungo L (fig. 5) e Q si muove verso destra,
i due punti devono in definitiva incontrarsi poiché Riemann supponeva che la
linea L sia finita. La linea PR ruoterà dunque attorno a P fino
a incontrare la linea PQ,, senza però mai perdere il contatto con L. Ossia
per P non dovrebbe passare alcuna linea parallela a L. La figura 5
non ci dice in che modo questa rotazione completa di PR attorno a P sia
possibile con la nostra concezione usuale della linea retta, ma il disegno non
vuol far altro che suggerire il pensiero di Riemann. Queste
riflessioni suggerirono a Riemann l'opportunità di adottare, assieme alla
finitezza della linea retta, un postulato che negasse l'esistenza di linee
parallele.
Fig. 5. La
base geometrica del postulato delle parallele di Riemann.
Come se queste due discordanze da
Euclide non fossero sufficienti, Riemann ne propose una terza: invece di
supporre che due punti determinino una e una sola linea, Riemann adottò il
postulato che due punti possono determinare più di una linea. La geometria di
Riemann, come quella di Lobacevskij e di Bolyai, ha alcuni teoremi in comune
con Euclide. Il teorema che angoli retti siano uguali e il teorema che angoli
opposti a lati uguali di un triangolo sono anch'essi uguali vale in tutt'e tre
le geometrie, poiché questi teoremi dipendono solo da assiomi comuni a tutt'e
tre le geometrie. Alcuni teoremi della geometria di Riemann che differiscono da
quelli di Euclide sono sorprendenti. Ad esempio: tutte le linee
perpendicolari a una linea retta si incontrano in un punto (fig. 6). Un
altro fatto che si presenta in questo strano mondo è che due linee rette
delimitano un'area (fig. 7). Come nella geometria di Lobacevskij e di
Bolyai, troviamo che triangoli che sono simili sono anche congruenti. Altri
due teoremi potrebbero quasi essere previsti. Il primo dice che la somma
degli angoli di un triangolo è maggiore di 180 gradi. Il secondo dice che, di
due triangoli, quello con superficie maggiore ha la somma degli angoli
maggiore.
Fig. 6 Fig. 7
[ Picolo appunti ]
