Il piano cartesiano

Il piano cartesiano

Le coordinate cartesiane

Il piano cartesiano è un sistema di riferimento utilizzato per lo studio della geometria analitica.

Come prerequisito per i ragazzi necessaria la conoscenza dei numeri relativi.

Il suo principio è molto semplice e per meglio spiegarlo ai ragazzi si consiglia di ricorrere al gioco della battaglia navale, in cui i ragazzi inconsapevolmente utilizzano lo stesso principio per individuare dei punti.

Fig. 1

Siano date due rette perpendicolari fra loro. Il punto in cui si incrociano si chiama origine e viene indicato con la lettera O. All'estremo superiore e all'estremo di destra si disegna una freccia per indicare il verso (vedremo poi cosa significa), la lettera Y per quello verticale e la lettera X per quello orizzontale (vedi Fig. 1) .

L'asse orizzontale è chiamato asse delle ascisse, quello verticale asse delle ordinate. Le due rette dividono il piano in quattro quadranti denominati da 1 a 4 come illustrato nella fig. 1.

I due assi hanno la particolarità di essere divisi in trattini uguali numerati a partire da O. Il consiglio è di usare un foglio con i quadretti per facilitare l'operazione.

Sull'asse delle ascisse, a partire dalla destra di O, si scrivono i numeri positivi (fin dove lo permette il disegno degli assi). A sinistra di O si scrivono i numeri negativi. Ogni quadratino vale 1.

Per l'asse delle ordinate si procede allo stesso modo, con in numeri positivi verso l'alto e quelli negativi verso il basso.

Anche in questo caso la Fig. 2 aiuta a capire in maniera semplice, anche se disegnandola a mano sarà più comprensibile.

Fig. 2

Prendiamo ora un punto A sul 1° quadrante. Tracciando le proiezioni perpendicolarmente ai due assi andremo a fissare quelle che vengono chiamate coordinate cartesiane di un punto. Supponiamo che le proiezioni incontrino l'asse X sul numero 5 e lasse Y sul numero 3. Diremo che il punto A ha coordinate 5; 3 che si scrive A(5;3). Si può anche dire che il punto A ha ascissa 5 ed ordinata 3. (Fig. 3). Un particolare punto del piano è l'origine O(0;0) che ha sempre queste coordinate.

Fig. 3

Almeno inizialmente sarà bene scrivere sopra i numeri che rappresentano le coordinate le lettere X e Y per aiutare i ragazzi ad associare il primo numero all'ascissa e il secondo all'ordinata.

Distanza fra due punti

Siano dati due punti A e B su un piano cartesiano (Fig.4). Le loro coordinate sono

A(3;2) e

B(6;6).

Fig. 4

Vogliamo calcolare quanto è distante il punto A dal punto B (oppure la lunghezza del segmento AB ). La formula usata deriva dal Teorema di Pitagora, ma non sembra il caso di usarla per spiegarlo a ragazzi con difficoltà di apprendimento. Sarà bene limitarsi a mostrare la formula e spiegare come usarla. La formula è la seguente

			Distanza fra due punti

Con ed si intendono rispettivamente le ascisse di B ed A e con ed si intendo le ordinate di B ed A (l'ordine con cui vengono scritti i numeri tra parentesi non ha importanza, ma è importante non mischiare un'ascissa con un'ordinata).

Applichiamo la formula alle coordinate dell'esempio svolgendo tutti i passaggi per evitare confusioni nei ragazzi.

=

Si dirà quindi che il segmento ha lunghezza 5.

Punto medio di un segmento

Siano dati i soliti due punti A e B di coordinate A(3;2) e  B(6;6).

Vogliamo trovare le coordinate del punto M che divide a metà il segmento .

Fig. 5

La formula è la seguente

Coordinate del punto medio

,

che indicano rispettivamente l'ascissa e l'ordinata del punto medio M.

Es.

A(3;2)   B(6;6).

Quindi M (