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Il numero d'oro nella Successione di Fibonacci
Un uomo mise una coppia di conigli in un luogo circondato da tutti i lati da un muro. Quante coppie di conigli possono essere prodotte dalla coppia iniziale in un anno supponendo che ogni mese ogni coppia produca una nuova coppia in grado di riprodursi a sua volta dal secondo mese?
Leonardo Fibonacci (c. 1170 - 1240), "Liber abaci", 1202.
È da questo problema sull'allevamento dei conigli che il matematico Leonardo da Pisa, detto Fibonacci, agli inizi del 200 elabora la successone numerica che dal XIX secolo prenderà il suo nome: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,.. A partire dal terzo numero, ciascun termine è uguale alla somma dei due termini precedenti[1]. Tra le numerose proprietà di cui essa gode vi è quella secondo cui, procedendo lungo la successione, il rapporto tra un termine e il suo precedente si avvicina sempre di più al numero d'oro, Φ. Espresso in termini matematici abbiamo:
La formula di Binet per calcolare l'n-esimo numero della sequenza di Fibonacci si basa interamente sul rapporto aureo.
La successione di Fibonacci in natura.
Esistono numerosi esempi in natura in cui possiamo constatare la presenza della successione di Fibonacci:
Nell'ananas ognuna delle squame appartiene a tre spirali diverse, come mostrato in figura: quelle evidenziate dal colore verde sono le 21 spirali che salgono ripidamente da sinistra verso destra, nella stessa direzione ma con angolazione minore le 8 spirali in blu. In colore rosso vediamo le 13 spirali da destra verso sinistra. I numeri di spirali presenti sono, nella maggioranza di questi frutti, i numeri della successione di Fibonacci.
I semi del girasole e le squame delle pigne sono disposti con andamenti spiraliformi secondo la serie di Fibonacci, in modo da essere uniformemente sparsi su tutta la corolla evitando di essere troppo ammassati al centro.
Alcuni fiori presentano un numero di petali pari ai numeri di Fibonacci. Lilium e iris ne hanno 3, la rosa selvaggia e l'aquilegia 5, il delphinium 8, la cineraria (in figura) 13.
La successione di Fibonacci è una successione ricorsiva, vale a dire che il suo n-esimo termine è
calcolato come funzione dei precedenti, avendo posto delle condizioni iniziali per i primi
termini (in questo caso i primi due sono posti uguali ad 1).
La proprietà si dimostra facendo ricorso alla definizione di Φ tramite frazione continua già vista in precedenza. Interrompendone il calcolo dopo una serie sempre più lunga di operazioni, otterremmo come risultato un elenco di numeri che approssimano in modo più preciso il valore del rapporto aureo e identici a numeri di Fibonacci sempre più grandi, divisi per il loro predecessore.
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