Il dubbio di euclide

IL DUBBIO di Euclide

Nonostante la generale accettazione , che caratterizzò la storia della geometria euclidea fin dal principio e che il tempo accentuò, alcuni pensatori, incluso Euclide stesso, non erano del tutto a loro agio a causa fondamentalmente di due postulati, quello affermante che un segmento di linea può essere esteso a piacere in entrambe le direzioni ed il postulato delle parallele, il quale dice che per un punto P non giacente su una linea L passa una e una sola linea M ( nel piano di P e di L) che non incontri L per quanto M e L vengano prolungate. Se i postulati della geometria euclidea vengono accettati in quanto  l'esperienza con lo spazio fisico giustifica la nostra accettazione, allora tali postulati sono soggetti a qualche dubbio. Nessun'uomo ha un'esperienza diretta di ciò che accade nello spazio a più di alcuni chilometri di distanza dalla Terra, e tutto ciò che possiamo dire in verità è che tali postulati appaiono esser veri nelle regioni limitate in cui noi di fatto ci muoviamo. Ma neppure qui possiamo essere certi delle nostre asserzioni poiché noi non vediamo mai linee parallele neppure nella parte di spazio che ci circonda immediatamente. Quando noi seguiamo con lo sguardo linee che secondo la geometria di Euclide sono definite parallele, tali linee ci paiono incontrarsi a distanza.

Euclide rivela fin da principio la sua preoccupazione a proposito di questi postulati: egli non utilizza il quinto postulato,il più discutibile fra i due, finchè non ha dimostrato tutti i teoremi possibili senza di esso. Egli è altrettanto prudente circa l'illimitata possibilità di estensione della linea retta. Un esame dei teoremi della sua geometria dimostra, come già abbiamo evidenziato parlando dei postulati, che egli usa segmenti di linea (parti di linea compresi fra due punti) ma non suppone mai di dover prendere l'avvio da una linea retta infinita. Quando è necessario, estende un segmento in una direzione o nell'altra ma solo nella misura richiesta dal teorema. Non se ne dovrebbe inferire che Euclide dubitasse della verità di questi postulati;tuttavia, a causa delle loro implicazioni, apparentemente gravi, egli avrebbe preferito senza dubbio derivarne i contenuti come conseguenze di postulati più semplici. Pertanto Euclide stesso è consapevole dell'impossibilità di estendere intuitivamente il V postulato ad un piano illimitato, ma comprende anche che non è possibile rinunciarvi, in quanto da esso dipendono numerosi risultati di grande importanza, come per esempio il teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo( uguale ad un angolo piatto), i teoremi sui parallelogrammi, la teoria dell'equivalenza delle superfici piane, il teorema di Pitagora e la teoria della similitudine delle figure piane. Inoltre, senza il postulato delle parallele, resterebbero senza basi teoriche importanti settori della matematica come la trigonometria piana e la geometria analitica.