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Il concetto di Infinito

Gradito:

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Teoremi di Stokes e Gauss-Ostrogadskij (IIb)

Teoremi di Stokes e Gauss-Ostrogadskij (IIb) I due teoremi che presenterò

La formula di taylor

LA FORMULA DI TAYLOR Sia f(x) una funzione reale definita

Le equazioni di Maxwell in forma differenziale (III)

Le equazioni di Maxwell in forma differenziale (III) Il nostro punto di partenza

Il concetto di Infinito

La storia

Il concetto di infinito è un problema matematico di cui non è mai stato facile parlare, poiché in matematica non serve semplicemente tirare fuori definizioni accettabili, come in filosofia ma bisogna anche tirare fuori una serie di conseguenze "interessanti" e possibili applicazioni di quanto si è scoperto.

Analizziamo in questa sezione come nel corso della storia è stata trattata questa questione.

Antica Grecia:

Euclide	Fu il primo ad affermare che un segmento di retta poteva essere estesa a piacere, e che i numeri primi erano maggiori di qualsiasi quantità definita. Egli faceva in modo di lavorare sempre con quantità finite, cosicché da avere sempre tutti i numeri che desiderava quanto li voleva.
Platone	Affermò che l'infinito attuale (l'iperuranio) è di per sé inconoscibile, e che bisognava accontentarsi di una visione delle "ombre" da esso prodotte.
Aristotele	Teorizzò l'infinito potenziale, che possiamo definire come qualcosa che sta al di là di quello che possiamo raggiungere, ma "in quella direzione", come il prolungamento del segmento per Euclide.
Zenone	Famoso per i suoi paradossi contro la pluralità: Se le cose sono molte esse sono allo stesso tempo un numero finito e un numero infinito: sono finite in quanto esse sono né più né meno di quante sono, e infinite poiché tra la prima e la seconda ce n'è una terza e così via. Se queste unità non hanno grandezza, le cose da esse composte non avranno grandezza, mentre se le unità hanno una certa grandezza, le cose composte da infinite unità avranno una grandezza infinita.
Archimede	Sostenne il metodo dell'esaustione, un procedimento geometrico-matematico con cui all'avanzare del calcolo aumenta il grado di precisione dei risultati. Lo utilizzò per la sua famosa quadratura del cerchio

Età Moderna:

Bonaventura Cavalieri

Inventore del Principio Cavalieri:

"Se due solidi hanno uguale altezza e se le sezioni tagliate da piani paralleli alle basi e ugualmente distanti da queste stanno sempre in un dato rapporto, anche i volumi dei solidi staranno in questo rapporto"

Questo principio portò alla creazione del metodo degli indivisibili, usato per il calcolo di aree e volumi,il quale ha costituito una delle prime costruzioni che hanno contribuito allo sviluppo del calcolo infinitesimale.

Pierre de Fermat

Metodo per l'individuazione dei massimi e dei minimi delle funzioni

Isaac Newton

Insieme a Leibnitz, fondatore del calcolo infinitesimale

Gottfried Leibniz

A lui si deve il termine di funzione.

Eulero

Lo ricordiamo per ciò che ha apportato alla teoria degli insiemi col diagramma che prende il suo nome, insieme a quello di Venn

Georg Cantor e i Numeri Trasfiniti

Cantor ha allargato la teoria degli insiemi fino a comprendere al suo interno i concetti di :

Numeri Transfiniti	è un concetto matematico che estende la nozione di numero, le operazioni aritmetiche e la relazione d'ordine proprie dei numeri naturali ad una classe più ampia di oggetti che in qualche senso sono 'più grandi' degli usuali numeri 'finiti. Questa particolare tipologia di numeri può essere suddivisa in numeri cardinali e ordinari.
Numeri utilizzati per indicare la grandezza di un insieme. Mentre per gli insiemi finiti la grandezza è indicata da un numero naturale, e cioè il numero di elementi, i numeri cardinali (la cardinalità) classificano oltre a questi anche diversi tipi di infinito.		Numeri Cardinali א
Numeri Ordinali	costituiscono una estensione dei numeri naturali che tiene conto anche di successioni infinite.

In parole povere, Cantor capì che i numeri (finiti e non) posso essere visti in 2 modi: ordinali quando ci interessa contarli, e cardinali quando invece li vediamo come un unico gruppo e ci interessa sapere "quanti sono"

Le operazioni possibili all'interno dell'insieme dei numeri interi considerati numeri ordinali
Consideriamo il più piccolo numero ordinale
Successione	Non possiamo conoscere il valore precedente di , ma possiamo conoscere il valore successivo, ovvero ω+1
Proprietà e Operazioni	Valgono tutte le operazioni, ma non vale la proprietà commutativa; infatti, 1+ω non è uguale a ω+1!!!

Le operazioni possibili all'interno dell'insieme dei numeri interi considerati numeri cardinali

La cardinalità dell'insieme dei numeri naturali è א_0,e poiché l'insieme N è numerabile, tutti gli insiemi che hanno cardinalità א₀ sono numerabili
Proprietà	Vale la proprietà commutativa: infatti, che si consideri un mucchio di numeri prima di un altro, alla fin fine è sempre la stessa cosa
Operazioni	א₀₊ N = א₀ , N numero intero	Gli elementi di N rimangono "annegati" in mezzo agli infiniti elementi dell'altro addendo
		Prendiamo i numeri interi, e li scriviamo in ordine (1,-1,2,-2.)poiché siamo in un insieme numerabile allora la cardinalità è
	א₀^N= א₀	Posso scrivere in ordine l'elenco dei numeri razionali costruendo una tavola pitagorica dove le righe corrispondono ai denominatori e le colonne al numeratore ( 1/1, 2/1,1/2,1/3)_.
	NB Abbiamo dimostrato così che l'insieme dei razionali ha cardinalità

L'insieme dei Numeri Reali

Abbiamo dimostrato nella pagina precedente come la cardinalità dell'insieme dei numeri interi e dei numeri razionali sia א_0,basandoci sulle deduzioni fatte da Cantor. Ma quanto vale allora la cardinalità dell'insieme dei numeri reali? Carnot è riuscito a dimostrare che la cardinalità dell'insieme dei numeri reali è più di ovvero che l'insieme R è più che numerabile. Ecco come ha fatto:

Immaginiamo per assurdo che i numeri reali siano numerabili: allora li possiamo scrivere in un ordine. Abbiamo questa sequenza di numeri reali, presi dall'intervallo di numeri da 0 a 1.

A questo punto, costruiamo un numero che abbia le seguenti caratteristiche:

inizi con 0,

se nella posizione decimale sottolineata c'è una cifra compresa tra 0 e 4, si dovrà mettere il numero 8; se nella posizione decimale sottolineata c'è invece una cifra compresa tra 5 e 9, si dovrà mettere 3.

Analizzando i numeri definiti prima, costruiamo quindi il numero 0.388838.

Ora cerchiamo di ordinarlo nello schema dei numeri scritti sopra: non può essere il primo, perché la prima cifra dopo la virgola è diversa. Non può essere il secondo perché la seconda cifra dopo la virgola è diversa. Non può essere il terzo..il quarto

SONO CADUTO IN CONTRADDIZIONE; NE SEGUE CHE QUANTO HO AFFERMATO PER ASSURDO NON E' VERO. QUINDI L'INSIEME DEI NUMERI REALI NON E' NUMERABILE, QUINDI E' PIU CHE NUMERABILE.

Cantor riconobbe che gli insiemi infiniti possono avere differenti cardinalità, separò gli insiemi in numerabili e più che numerabili e provò che l'insieme di tutti i numeri razionali Q è numerabile mentre l'insieme di tutti i numeri reali R è più che numerabile, dimostrando in questo modo che esistono almeno due ordini di infinità.

In seguito, Cantor dimostrò che

l'insieme potenza di un insieme infinito $A$ ha una grandezza maggiore della grandezza di $A$ stesso (questo fatto è oggi noto con il nome di teorema di Canto).

Dunque esiste una gerarchia infinita di grandezze di insiemi infiniti, dalla quale sorgono i numeri cardinali e ordinali transfiniti, e la loro peculiare aritmetica

La teoria degli insiemi e l'ipotesi del continuo

Carnot fu il primo a capire che gli insiemi infiniti possono avere diverse grandezze. Per prima cosa, mostrò che dato un qualsiasi insieme $A$ , esiste l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di $A$ , chiamato l'insieme potenza di $A$ .

Prendiamo un qualunque insieme I; per comodità, lo prendiamo con solo tre elementi al suo interno:

Adesso, costruiamo un "insieme di insieme" P(I), ovvero prendendo tutti i possibili sottinsiemi come elementi del nuovo insieme:

, , , , , , , insieme vuoto 8 elementi

Se I è un insieme finito, il numero di elementi di P(I) è pari a 2 elevato al numero di elementi di I;

Egli, sulla basa di questi studi, avanzò anche la cosiddetta ipotesi del continuo:

Non esiste nessun insieme la cui cardinalità è strettamente compresa fra quella dei numeri naturali e quella dei numeri reali.

Infatti, se esistesse un insieme S che rendesse falsa questa ipoteso, non sarebbe possibile trovare una corrispondenza biunivoca tra i numeri interi e gli elementi dell'insieme S: infatti ci sarebbe sempre qualche elemento di S non associabile in bisezione. Ma d'altra parte non sarebbe possibile creare neanche una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di S e i numeri reali. Così, per la proprietà transitiva, non ci sarebbe una corrispondenza biunivoca tra i numeri interi e i numeri reali

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