Teoremi di Stokes e Gauss-Ostrogadskij (IIb)

Teoremi di Stokes e Gauss-Ostrogadskij (IIb)

I due teoremi che presenterò in questa sezione si possono considerare come l'estensione del teorema di Green al caso tridimensionale.

La prima operazione da compiere è considerare la definizione di rotore e divergenza di un campo vettoriale nelle tre dimensioni.

Definizione (IIb.I)

Dato un campo vettoriale il rotore di è un altro campo vettoriale definito da:

Vale a dire:

Definizione (IIb.II)

Dato un campo vettoriale la divergenza di è un campo scalare definito da:

Introduco formalmente l'operatore differenziale vettoriale (nabla), già usato nella notazione del gradiente di una funzione scalare.

Definizione (IIb.III)

Preso singolarmente non ha senso (così come l'operatore per una differenza), ma può combinarsi, tramite un prodotto, con campi scalari o differenziali. Con un campo scalare esiste un solo prodotto possibile, e il risultato è . Con i campi vettoriali abbiamo prodotto interno o esterno, che conducono rispettivamente a:

1)

2)

Calcolando si può dimostrare che ciò è coerente con le definizioni di rotore e divergenza date sopra.

Ora il primo dei due teoremi.

Teorema di Stokes per il rotore (IIb.I)

Dato un campo vettoriale su una superficie orientata S,

Corollario (IIb.I)

dipende solo dalla frontiera di S. Se allora:

Il teorema stabilisce che la circuitazione del campo attorno alla frontiera di una superficie orientata S è uguale all'integrale di superficie del rotore del campo su S; cioè il flusso del rotore del campo attraverso S.

Vedremo come ciò si applica alle equazioni per l'elettromagnetismo.

Prima di enunciare il secondo teorema devo spiegare cosa significa l'integrale di superficie sulla frontiera di una regione solida.

Definizione (IIb.III)

La frontiera di una regione solida E è l'unione delle facce di E orientate in modo tale che le loro superfici esterne siano positive.

Definizione (IIb.IV)

L'integrale di superficie di un campo vettoriale sulla frontiera di una regione solida E è la somma degli integrali di superficie di sulle facce di E.

Mantenendo la stessa notazione e denotando con le superfici individuate dalle facce di E si ha:

in certi casi le facce di E potranno degenerare in una linea o in un punto.

Teorema di Gauss-Ostrogadskij per la divergenza (IIb.II)

Dato un campo vettoriale e una regione solida E

Ciò può riscriversi come:

Il teorema stabilisce che il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa (la frontiera di una regione solida) è uguale all'integrale di volume della divergenza del campo sulla regione solida E racchiusa dalla superficie.

Di questi due teoremi non è mio interesse dare una dimostrazione, la quale risulta assai complicata.

Siamo giunti al termine della sezione (IIb).