I numeri ciclici

I numeri ciclici, o circolari, sono particolari in quanto moltiplicandoli per qualsiasi numero, sommando o facendo altre curiose operazioni, danno come risultato sempre le stesse cifre del numero di partenza, che girano come se l'ultima fosse attaccata alla prima.

Il più piccolo numero ciclico è il 142857, esaminiamo cosa succede moltiplicandolo per i primi 6 numeri naturali: 142857*1 = 142857 142857*2 = 285714 142857*3 = 428571 142857*4 = 571428 142857*5 = 714285 142857*6 = 857142. Si vede che questo è un numero incredibile, la prima volta che l'ho visto sono rimasto davvero a bocca aperta. Se invece lo moltiplichiamo per 7 abbiamo 142857*7 = 999999. Infatti in generale si può enunciare il seguente teorema, di cui, come dei seguenti, non do la dimostrazione: un numero ciclico di n cifre, moltiplicato per n + 1 da come risultato una sequenza di n 9.

Ma non pensate che sia già finito tutto, infatti sarebbe deludente che si possa moltiplicare i numeri ciclici solo per numeri minori di loro, vediamo cosa succede se moltiplichiamo per 1452. 142857*1452 = 207428364, di questo numero consideriamo le prime 6 cifre da destra: 428364 e sommiamo il numero così ottenuto con il numero rimanente, 207, si ha 428364 + 207 = 428571, che ha ancora le stesse cifre!! Questo lo si può fare moltiplicando per qualunque numero, a patto che il numero non sia un multiplo di 7, in quel caso dopo la somma otteniamo ancora la sequenza di sei 9. In generale vale il seguente teorema: moltiplicando un numero ciclico di n cifre per un numero qualsiasi e sommando i gruppi di n cifre si ottiene la stessa sequenza di numeri. Se si moltiplica per un multiplo di n+1 allora il risultato della somma è una sequenza di n 9.

Tuttavia le curiosità non si limitano alla moltiplicazione, ma ci sono molte belle proprietà che riguardano anche l'addizione. Dal numero 142857 otteniamo questa somme 142 + 857 = 999, ma anche 14 + 28 + 57 = 99 e infine 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27, ma attenzione perché da 27 abbiamo 2 + 7 = 9! Dalla prima addizione troviamo un importante proprietà dei numeri ciclici, che permette di trovare tutto il numero quando se ne conosce solo la metà. In generale si può enunciare il seguente teorema: un numero ciclico di n cifre può essere scomposto in gruppi di d cifre [dove d è un fattore di p] che sommati danno una serie di 9.

Esistono molti modi per ottenere numeri ciclici, uno di loro è questo:

In questo metodo si parte scrivendo 14 in alto a sinistra e poi moltiplicando sempre per 2 e scrivendo il numero successivo spostato di due posti verso destra. La somma da una serie infinita di 142857

Ma non credete che sia finita qui, infatti la stessa serie si può ottenere anche in questo modo:

In questo modo, al contrario di prima, si ottiene il numero partendo da 7 e poi scrivendo sotto a sinistra di una posizione il numero di sopra moltiplicato per 5.

Esaminiamo ora l'ultima proprietà che vedremo dei numeri ciclici. Essi sono strettamente legati ai reciproci dei numeri primi. Se consideriamo un numero primi n e ne calcoliamo il reciproco otteniamo sempre (tranne nel caso che n valga 2 o 5) un numero periodico, come è facile capire, ora il bello è che se il periodo è lungo n - 1 cifre allora è un numero ciclico. Vediamo qualche esempio.

Si noti che negli ultimi due numeri ciclici si deve considerare anche lo 0 più a sinistra come cifra del numero, altrimenti quando si moltiplica il numero compare questa cifra senza che essa appaia nel numero iniziale.

Quando il periodo è di lunghezza pari alla metà, ad un terzo, ecc del numero primo per cui è stata fatta la divisione, si otterrà un numero ciclico di secondo, di terzo, ecc ordine. I numeri ciclici di ordine superiore presentano caratteristiche simili a quelli di primo ordine solo in alcuni casi, e sono, si può dire, meno spettacolari di questi.