I problemi di Hilbert

I problemi di Hilbert

Par. 1) Il Congresso di Parigi del 1900

Il secolo XX si apre, matematicamente parlando, con il congresso ufficiale di matematica tenutosi a Parigi nel 1900. A tale congresso David Hilbert, matematico tedesco e famoso professore a Gottinga, presentò una relazione nella quale tentava di prevedere quali sarebbero stati i problemi che avrebbero impegnato i matematici nel corso del 1900. Ancora oggi i problemi posti da Hilbert sono di notevole interesse e alcuni devono ancora trovare risposta.

Par. 2) Il primo problema di Hilbert

La prima questione sollevata dal matematico riguardava i numeri reali ed il problema si componeva di due parti:

esiste un numero transfinito compreso tra il numero di un insieme numerabile e il numero del continuo?

il continuo dei numeri reali può essere considerato un insieme ben ordinato?

Il primo quesito può essere compreso solamente dopo una spiegazione sintetica dei numeri transfiniti.

NUMERI TRASFINITI

Il punto 1 equivale dunque a chiedersi se esista un numero transfinito compreso tra e , dal momento che un insieme si definisce numerabile se i suoi elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con gli elementi dell'insieme N.

L'ipotesi del continuo afferma che non esiste nessun insieme infinito la cui cardinalità sia compresa strettamente tra quella dell'insieme dei numeri interi e quella dell'insieme dei numeri reali. Goedel e Cohen hanno dimostrato che l'ipotesi non può essere né dimostrata né confutata. Non esiste un consenso tra matematici se ciò risolva o meno il problema.

Il punto 2 chiede, in sostanza, se la totalità di tutti i numeri reali possa essere ordinata in un'altra maniera in modo che ogni insieme parziale possegga un primo elemento. Anche questo problema è stato affrontato senza però giungere ad una soluzione definitiva.

Par. 3) Il secondo problema di Hilbert

Il secondo problema di Hilbert chiedeva se fosse possibile dimostrare che gli assiomi dell'aritmetica sono compatibili, ossia che partendo da essi e procedendo attraverso un numero finito di passaggi logici non si può mai giungere a risultati contraddittori. Dieci anni dopo l'esposizione del problema vide la luce il primo volume dei Principia matematica di B. Russell e A. Whitehead, il quale riformulava le nozioni fondamentali dell'aritmetica a partire da un insieme ben definito di assiomi. Tale opera era basata sugli assiomi di Peano già descritti e tendeva a far coincidere matematica e logica. In tale ottica la risposta al secondo problema di Hilbert sembra essere affermativa, ma la questione non si poteva considerare chiusa.

Nel 1931 infatti, un giovane matematico austriaco, Kurt Goedel, dimostrò il contrario di ciò che pareva esser stato scoperto da Russell e Whitehead. I celebri teoremi di Goedel vengono trattati nei paragrafi seguenti.

Par. 4) Dimostrazione del primo teorema di incompletezza di Goedel

Goedel si proponeva di dimostrare che all'interno di un sistema logico, quale ad esempio quello dell'aritmetica, vi sono degli enunciati che sono indecidibili, non possono cioè essere né dimostrati né confutati. Goedel prese allora in considerazione un enunciato p così definito:

p: "p non può essere dimostrato"

ed elaborò poi una dimostrazione che portasse a concludere che p è indecidibile, il che comporta la non-coerenza del sistema.

Per comprendere il teorema di Goedel è prima necessario definire alcuni concetti.

FORMA (O FORMULA) DICHIARATIVA

NUMERO DI GOEDEL

Procediamo ora con la dimostrazione.

Diciamo che una forma dichiarativa F(x) è auto-indimostrabile se e solo se F(G(F)) non è dimostrabile.

Questo passaggio è subito evidente se consideriamo:

a)     G(F) come il numero di Goedel che identifica F

b)     F(x) così definita: F(x): "x ha la proprietà espressa da F"

A questo punto infatti dire che F(G(F)) non è dimostrabile significa dire: non è dimostrabile che "la forma associata al numero che identifica la forma F ha la proprietà espressa da F",

ovvero: non è dimostrabile che "F ha la proprietà espressa da F".

Pertanto se F(G(F)) non è dimostrabile allora F(x) è auto-indimostrabile, cioè afferma la sua stessa indimostrabilità.

Definiamo ora la seguente forma dichiarativa:

S(z): "z è il numero di Goedel che identifica una forma dichiarativa auto-indimostrabile"

In accordo con tale definizione si ha z=G(F) per una qualche forma dichiarativa F(x) tale che F(G(F)) non è dimostrabile.

Consideriamo ora la seguente forma dichiarativa:

S(G(S))

Essa equivale a:

"il numero di Goedel che identifica S è il numero di Goedel che identifica una forma auto-indimostrabile"

cioè:

S è auto-indimostrabile

E' ora chiaro che S(G(S)) coincide con l'enunciato p introdotto all'inizio. Infatti dire che S(G(S)) è vero equivale a dire che S(G(S)) non è dimostrabile; lo stesso accade con p: se p è vero p non è dimostrabile.

Possiamo allora concludere:

p= S(G(S))

Esaminiamo ora due casi, supponendo di operare in un sistema coerente dal punto di vista logico:

CASO A: p è dimostrabile

Se p è dimostrabile, dunque vero, allora per la (1) è vera anche S(G(S)) e dunque G(S) è il numero di Goedel di una forma proposizionale auto-indimostrabile (per come è definita S); dunque S è una forma proposizionale auto-indimostrabile. Ciò implica per la definizione di auto-indimostrabilità che S(G(S)) non è dimostrabile e dunque p non è dimostrabile. Si giunge dunque ad una contraddizione con l'ipotesi e pertanto essa è falsa (dimostrazione per assurdo). Conclusione: p non è dimostrabile.

CASO B: la negazione di p, cioè ¬p, è dimostrabile

Se ¬p è dimostrabile, dunque vero, allora per la (1) è vera anche ¬S(G(S)) e dunque G(S) non è il numero di Goedel di una forma proposizionale auto-indimostrabile; dunque S non è una forma auto-indimostrabile. Ciò implica che S(G(S)) è dimostrabile e dunque p è dimostrabile. Se p è allora vero, non può essere vero anche ¬p. Si giunge dunque ad un'altra contraddizione. Conclusione: ¬p non è dimostrabile

L'analisi dei due casi porta a concludere che né p né il suo contrario possono essere dimostrati. L'enunciato p è allora indecidibile, come volevasi dimostrare.

Par. 5) Dimostrazione del secondo teorema di Goedel e conseguenze

Sia p l'enunciato indecidibile costruito prima, e si assuma che la coerenza del sistema sia dimostrabile all'interno del sistema stesso (ipotesi). Il primo teorema di Goedel mostra che se il sistema è coerente, allora p non è dimostrabile.

L'affermazione 'p non è dimostrabile' può essere dimostrata nel sistema (è ciò che ha fatto il primo teorema di Goedel).

Ma quest'ultima affermazione è equivalente allo stesso enunciato p, quindi p può essere dimostrato nel sistema. Questa contraddizione conduce ad un assurdo: il sistema deve essere allora incoerente (dimostrazione per assurdo).

Questo secondo teorema porta a concludere che vi sono alcuni sistemi che non possono auto-dimostrare la loro coerenza. Esistono tuttavia dei sistemi assiomatici completi e coerenti. Alcuni studiosi fanno inoltre notare che le proposizioni indecidibili possono essere risolte aggiungendo dei nuovi assiomi.

Par. 6) Altri problemi di Hilbert

Le questioni sollevate da Hilbert erano in generale molto complesse. Esse riguardavano ad esempio la natura dei numeri della forma dove è un numero algebrico diverso da zero e da uno e dove è un numero irrazionale algebrico.

Altri problemi concernevano la topologia, le equazioni differenziali e altri argomenti.

Si noti che alcuni dei ventitré problemi proposti da David Hilbert sono ancora oggi irrisolti.