Integrale indefinito

Integrale indefinito

Si dice F(x) è una primitiva della funzione f(x) in un intervallo [a,b] se F(x) è derivabile in tale intervallo e se per tutti i punti di esso si ha che F'(x) = f(x).

L'insieme di tutte le primitive di una funzione f(x) si chiama integrale indefinito di f(x) e si indica con il simbolo:

∫ f(x) dx

Proprietà degli integrali indefiniti:

• ∫k * f(x)dx = k * ∫f(x)dx

• ∫[f₁(x)+f₂(x)]dx = ∫f₁(x)dx + ∫f₂(x)dx
  
  
• ∫[k₁ * f₁(x) + k₂ * f₂(x)]dx = k₁ * ∫f₁(x) + k₂ * ∫f₂(x)
  
  

I teoremi sopra elencati permettono di affermare che l'integrale indefinito, come la derivata, è un operatore lineare e il procedimento di integrazione che utilizza tali teoremi è detto integrazione per decomposizione o per scomposizione.

Integrali immediati

Se è possibile determinare l'integrale indefinito di una funzione grazie alle sole regole di derivazione allora l'integrale è detto immediato.

Gli integrali indefiniti immediati:

∫ dx = x + c

∫ sen x dx = -cos x + c

∫ cos x dx = sen x + c

∫ (1/cos² x) dx = tan x + c

∫ (1/sen² x) dx = -cotan x + c

∫ e^x dx = e^x + c

∫ (1/x) dx = ln|x| + c

∫ a^x dx = (1/ln a) * a^x + c

Gli integrali indefiniti delle altre funzioni si calcolano applicando uno dei seguenti metodi:

di scomposizione: è in sostanza l'applicazione della seconda proprietà degli integrali e si applica quando la funzione f(x) è la somma di funzioni elementari;

di sostituzione: si usa quando,operando un cambio di variabile,si riesce ad ottenere un integrale immediato o facilmente calcolabile;

per parti: si usa quando la funzione integranda può essere vista come il prodotto di due funzioni,una delle quali è la derivata di una funzione nota;se f'(x) è la derivata della funzione nota e g(x) è l'altro fattore del prodotto,la formula di integrazione per parti è la seguente:

∫f'(x) * g(x) dx = - ∫ f(x) * g'(x) dx