I limiti di una funzione: conoscere una curva all'infinito

I limiti di una funzione: conoscere una curva all'infinito

il limite" fondamentale dell'analisi matematica. A. L. Cauchy (1821) lo mise in luce nel tentativo di rendere rigoroso il calcolo infinitesimale.

Esso esprime la tendenza di una quantità variabile (funzione, successione etc.) ad assumere valori arbitrariamente prossimi ad un valore prefissato,rimanendo i generale distinto da questo.

Un primo esempio intuitivo è dato da Archimede (287-212 a.c.), che misurò la lunghezza della circonferenza come valore limite a cui tendono le misure dei poligoni regolari inscritti e circoscritti con un numero via via crescente di lati.

Per definire il limite, evitando di confonderlo con un approssimazione, sono necessari concetti di "distanza" e di "intorno". La prima è un numero positivo che si associa a 2 punti distinti A e B e che non dipende dall'ordine in cui si considerano i due punti. "l'intorno" di un punto P, in un certo spazio, è l'insieme dei punti di tale spazio la cui distanza da P sia minore di un raggio fissato.

Per esempio la successione di numeri 1/2 , 1/3, ¼ ... 1/n, ... Ha come limite lo zero, non perche più n diventa grande, più la frazione diviene piccola ("grande" e "piccolo" non sono termini matematici), bensì perche scelto qualsiasi intorno dello 0, i termini della successione da un certo "n" in poi cadono tutti in tale intorno. Si scrive perciò :

=0

e si legge limite per n che tende all'infinito di uno su n è uguale a zero.

Data una funzione reale di variabile reale definita in un intervallo A B chiuso e sia k un punto esterno o interno all'intervallo di definizione si dice che la funzione tende al limite L, per x tendente a k , se per ogni ε > 0 è possibile determinare un numero δ, dipendente da ε, tale che se 0 < x-k < ε (ossia è possibile determinare un intorno di k, escluso il +k) sia verificata la condizione |f(x)-L| < ε

In questa sede si vogliono studiare i quattro casi che compongono la teoria dei limiti

I)limite finito quando x tende ad un numero finito:

=L

II) limite finito quando x tende ad infinito (costituito da due casi):

= L              o =L

III) limite infinito per x che tende ad un numero finito (composto dai seguenti due casi)

=+∞                          = - ∞

IV) limite infinito per x tendente ad infinito (composto da ben quattro casi)

= +∞         = -∞

=+∞   = -∞

In particolare, in questa sede andremo a studiare ciò che accade se k rappresenta un valore infinito (± ), tralasciando, almeno in parte, il limite finito di una funzione con l'incognita tendente ad un numero finito.

limite finito quando x tende ad infinito

Si dice che, per x tendente a infinito (+ o -), la funzione y = f(x) tende al limite finito L se, fissato ε > 0 arbitrario e piccolo a piacere, è possibile determinare, in corrispondenza di ε, un valore N>0 tale che per tutti i valori di x tali che |x| > N si abbia:

|f(x)-L|<ε (o, il che è lo stesso L-ε < f(x) < L+ε)

In termini grafici:

L'analisi di questo caso ci fa notare palesemente

che non ci sono punti di contatti tra la curva e la retta y=L

ciò significa che la retta si avvicinerà asintoticamente alla retta senza mai toccarla

L + ----- ----- ----A

f(x)----- ----- --------- ----- -------

L

N x

Chiaramente se L=0 la funzione sarà infinitesima all'infinito. Da cui la definizione:

una funzione si dice infinitesima all'infinito se, fissato un numero positivo ε piccolo a piacere è possibile determinare, in corrispondenza di ε, un numero N tale che, per ogni

|x| > N

Sia verificata una delle due relazioni equivalenti:

|f(x)| < ε o -ε < f(x) < ε

Da tutte queste definizioni si po' infine concludere che al tendere di x a ∞ la funzione y=f(x) tende al limite finito l, la curva rappresentativa della funzione data ammette l'asintoto di equazione:

y=L

limite infinito quando x tende ad un numero finito

Nel secondo caso che andremo a studiare analizzeremo cio che accade eseguendo il limite infinito di una funzione con l'incognita tendente ad un numero finito.

Specifichiamo fin da adesso che:

si dice che, al tendere di x a k, la funzione y=(x) tende a + o a - se, fissato un numero E positivo grande a piacere, è possibile determinare, in corrispondenza di E un intorno di k per ogni x del quale è verificata la condizione:

|f(x)| > E

Lapalissianamente, se f(x) < -E se il limite è - ; f(x) > +E se il limite è +

In termini grafici si deduce che:

x=k

F(x)- ----- ----- --------

E - -----------

k-δ x k

considerando la retta x=k la curva si dovrà avvicinare a lei asintoticamente cioè, cercherà di avvicinarsi sempre più alla retta ma, questa non le sarà mai tangente.

limite infinito quando x tende ad infinito

Terzo e ultimo caso analizzato è il limite infinito di una funzione f(x) la cui x tende all'infinito, che avra dicitura generale:

=∞

Teorema 3: si dice che la funzione f(x) tende ad infinito al tendere di x ad infinito se, fissato un numero E, positivo grande a piacere, è possibile determinare, in corrispondenza di E un numero positivo N tale che:

|x| > E

Per analizzare in toto questo tipo di limite si potranno prendere in considerazione, al fine di semplificare i processi, i quattro seguenti casi

I)      Potrà essere:

= +∞                                  f(x)- ----- ----- ----------

E dovrà essere verificata la condizione

f(x) > E E ----- ----- -----

per:                                                                                        

x > N

N x

II)Potrà essere:

----- ----- --------- f(x)

=+∞

-------E e dovrà essere verificata la seguente condizione

f(x) > E

x -N per:

x < -N

III)  Potrà essere:      

x -N

= -∞

------------ -E

E dovrà essere verificata la condizione:

f(x) < -E -------- ----- ------ --- f(x)

per:

x < -N

IV) essere:          y N x x

= -∞ -E----- ----- -----

e dovrà essere verificata la seguente condizione:

f(x) ----- ----- --------- ----- -----

f(x) < -E

per:

x < N

si possono calcolare limiti di funzioni espresse sottoforma di somma, prodotto, quoziente di altre funzioni e talvolta si presentano forme indeterminate tipo 0/0, ∞/∞, ∞-∞ e altre. In tal caso si parla di limite di forme indeterminate e per esse si ricorre di volta in volta a metodi particolari (come il teorema di de L'Hospital, per il quoziente di funzioni entrambe infinitesime o entrambe divergenti. Al concetto di limite di una funzione sono legati quelli di derivata e di integrale di una funzione.