Geometria ellittica

GEOMETRIA ELLITTICA

Il concetto base delle teorie di Riemann è quello della varietà n-dimensionale: il piano può essere considerato una varietà bidimensionale e lo spazio una varietà tridimensionale. Il punto di vista fortemente astratto che Riemann adotta permette di dare ai risultati che ottiene una validità generale che prescinde dalle proprietà fisiche dello spazio.

La chiave che permette di comprendere il sistema di Riemann sta nei concetti di "distanza" e di "geodetica".

Una geodetica è una linea che ha la proprietà di rappresentare il cammino più breve tra due qualunque dei suoi punti.

Una tale linea nello spazio euclideo è una retta. Ma se cambia il concetto di distanza cambia anche il significato di geodetica (si ricordi a tal proposito l'esempio del viaggio Milano-Wellinghton).

Riemann prende un punto di coordinate P₀(x₀;y₀) ed un punto P(x₀+dx;y₀+dy) infinitamente vicino al punto P₀.

Riemann dimostra quindi che la funzione che esprime la distanza tra i due punti sia:

Si osservi che se: a=c=1 e b=0 allora:

che non è altro che la normale distanza che viene applicata nel piano euclideo in cui le geodetiche non sono altro che le rette di equazione:

ax+by+c=0.

In generale a diverse espressioni di ds corrispondono differenti geodetiche. Riemann dimostra inoltre che le proprietà geometriche di una geodetica vengano definite da un determinato valore (che chiamerà come curvatura dello spazio) che dipende a sua volta dai parametri che compaiono nell'espressione ds.

Si possono distinguere a proposito:

varietà a curvatura costante: in cui l'espressione ds assume lo stesso valore in ogni punto, e di conseguenza anche la curvatura assume valore costante. Queste figure saranno caratterizzate dalle stesse proprietà geometriche in ogni loro punto.

Varietà a curvatura variabile: in cui l'espressione ds, e di conseguenza anche la curvatura, variano a seconda del punto considerato; la figura così ottenuta presenterà a seconda dei punti analizzati differenti proprietà geometriche.

Per quanto riguarda le varietà a curvatura costante si possono individuare dei sottogruppi:

a)     varietà a curvatura costante negativa: valgono le regole definite all'interno della geometria iperbolica di Lobačevskij.

b)     Varietà a curvatura costante nulla: valgono le regole  definite dalla tradizionale geometria euclideo.

c)     Varietà a curvatura costante positiva: valgono le regole di una nuova tipologia di geometrie che è quella ellittica (che corrisponde all'ipotesi dell'angolo ottuso di Saccheri, che nonostante fosse stato invalidato da Saccheri stesso, nella geometria ellittica può essere accettato dal momento del le geodetiche appartenenti alla varietà a costante positica sono tutte linee chiuse).

Le caratteristiche generali della geometria ellittica sono che:

non esistono rette parallele;

la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di 180°;

come nell'iperbolica non esistono figure simili.

Su queste basi Escher creò le opere riportate qui di seguito (anche note come "opere della riflessione").

Frammenti di alcune opere di Escher, in cui si può cogliere l'uso dei solidi regolari.