Filosofia della matematica

FILOSOFIA DELLA MATEMATICA

A fine Ottocento tra i matematici si affermò gradualmente l'esigenza di chiarezza e rigore concettuale e metodologico non perché la matematica fosse sull'orlo di una crisi ma perché negli ultimi tre secoli aveva fatto progressi giganteschi non seguiti da un'adeguata riflessione teorica; larghissimo era inoltre l'uso dell'intuizione o del senso comune per giustificare gli enti primitivi, le loro proprietà fondamentali e i metodi impiegati. Inoltre gli assiomi della geometria di Euclide apparivano ancora a fine Ottocento come supremo modello di rigore, mentre tante erano le branche della matematica prive di qualsiasi rigorizzazione assiomatica, come l'analisi.

Riduzionismo

Il riduzionismo è l'esigenza di ridurre i concetti dell'analisi ai concetti numerici evitando ogni intuizione geometrica; matematici come Cantor, Weierstrass e Dedekind tentarono di ridurre quindi la teoria dei numeri reali a quella dei naturali, dando una definizione puramente aritmetica della continuità, che invece prima era giustificata intuitivamente come gli infiniti punti di una retta. Cantor, basandosi sugli insiemi, ridusse i reali alle successioni infinite, sottoinsiemi ordinati dei naturali. Dedekind invece considerò i numeri reali come gli elementi separatori delle infinite partizioni possibili dei numeri razionali qualora la prima classe non ammetta massimo e la seconda minimo (in questo caso sarebbero numeri razionali). Con questi due matematici si aprì però il problema circa il considerare l'infinito attualmente e non come una grandezza variabile che cresce potenzialmente oltre ogni limite.

Teoria degli insiemi di Cantor-Frege e logicismo

La teoria cantoriana è una teoria degli insiemi attualmente infiniti che comporta, tra le scoperte più significative, la dimostrazione dell'esistenza di diverse cardinalità di insiemi infiniti, ottenuta mostrando che non c'è una corrispondenza biunivoca tra un insieme e l'insieme dei suoi sottoinsiemi. Come conseguenza si ha che esistono infiniti "più grandi di altri". In particolare i reali sono più tanti dei naturali (che hanno la stessa cardinalità dei razionali) e dunque non possono essere "numerati": il concetto di numero si stacca definitivamente dalla nozione intuitiva di "contare andando avanti all'infinito".

Il logico e matematico tedesco Gottlob Frege, sistematizzando le ricerche di Cantor, costruì una teoria degli insiemi semplicissima ma di grandissima forza e generalità.

Essa si basa sull'assioma di comprensione o di costruibilità che garantisce di poter costruire insiemi semplicemente raccogliendo tutti gli elementi che godono di una certa proprietà. Con questa teoria logica Frege pensava di dare una definizione del concetto di numero, ossia di ridurre la matematica alla logica: il suo programma prende il nome di logicismo. Per Frege il numero è la classe delle classi equipotenti, ossia ciò che hanno in comune tutti gli insiemi con lo stesso numero di elementi, prescindendo da tutte le differenze. Questa definizione non è circolare in quanto utilizza solamente elementi pre-numerici (come i concetti di insieme e di funzione) ricavabili dalla teoria degli insiemi; inoltre è puramente logica e analitica, escludendo intuizione e senso comune.

Purtroppo il logico britannico Bertrand Russel dimostrò che il sistema di Frege è contraddittorio se si prende in considerazione la proprietà di non appartenere a se stessi; essa è la versione "ontologica" del paradosso del mentitore: la paradossalità nasce dal confondere su un unico livello gli oggetti e gli insiemi che li contengono.

Via assiomatica e formalismo di Hilbert

L'idea di organizzare assiomaticamente una teoria matematica risale ad Aristotele e Euclide e consiste nel reperire un certo numero, possibilmente ristretto, di concetti ai quali ogni altro concetto possa venir ricondotto tramite definizione e un numero di proposizioni primitive vere a cui possa esser ricondotta la verità di ogni altra proposizione della teoria tramite dimostrazione. L'intelligibilità dei concetti primi e la verità delle proposizioni prime deve essere immediata, extra-logica e le nozioni logiche di definizione e dimostrazione hanno il ruolo di trasmettere tale verità intuitiva e immediata per tutto l'edificio della teoria. Con la rivoluzione portata dalle geometrie non-euclidee che fanno vedere come possano essere sviluppate teorie coerenti, di grande generalità e utilità matematica che però non si basano sull'intuizione e che non sono "confermate" dall'esperienza, gli assiomi perdono il valore di enunciati primitivi intuitivamente veri, ma diventano definizioni implicite degli oggetti e delle operazioni primitivi di una teoria.

A questo punto ricordiamo che Dedekind, avendo ridotto i reali ai naturali, era giunto al problema di cosa fossero i numeri stessi, ovvero di definirli. Egli insieme al matematico italiano Peano seguirono una via diversa da quella di Frege che aveva tentato di ridurre il concetto di numero a concetti logico-insiemistici: essi identificarono un numero di assiomi necessari e sufficienti a definire che cosa sono i numeri non descrivendoli esplicitamente appoggiandosi a nozioni intuitive, ma facendo vedere come funzionano, costruendo cioè una teoria assiomatica che li caratterizzi. Tali assiomi sono ricordati come assiomi di Peano e determinano il linguaggio primitivo L i cui simboli sono 0, +, - e successore. Si dimostrò presto che questi assiomi sono sufficienti a dedurre l'intera aritmetica (e da qui, per la riduzione di cui sopra, gran parte della matematica del tempo).

Ma questi assiomi garantiscono adeguatamente l'aritmetica, cioè la teoria dei numeri, ma non garantiscono la loro esistenza. Il matematico tedesco David Hilbert capì la necessità di distinguere tra nozioni sintattiche e semantiche, cioè tra linguaggio e ontologia, tra aritmetica e numeri, tra proposizioni dimostrate e proposizioni vere. Per queste idee il suo programma si ricorda col nome di formalismo. Hilbert si propose di arrivare all'ontologia attraverso la teoria, cioè di arrivare ai numeri attraverso l'aritmetica assiomatizzata da Peano. Infatti, se ogni teoria non-contraddittoria ha un modello, vale a dire esiste necessariamente un mondo in cui i suoi assiomi (e quindi i suoi teoremi) sono verificati, allora se si dimostra che l'aritmetica è non-contraddittoria si dimostrerà anche che esiste un modello, un mondo che verifica i suoi assiomi e i cui elementi sono proprio i numeri naturali. La ricerca dell'esistenza dei numeri naturali si trasformò quindi nel tentativo di dimostrare la non-contraddittorietà dell'aritmetica. Inoltre, se si dimostra che l'aritmetica è coerente, si risolve anche il problema metodologico su che cosa sia la verità matematica, la quale andrebbe a coincidere con la dimostrabilità a partire dagli assiomi.

Teoremi di incompletezza di Gödel

Il logico tedesco Kurt Gödel riuscì però a far naufragare definitivamente il programma di Hilbert attraverso l'enunciazione di due teoremi che sono passati alla storia come teoremi di incompletezza:

1. se supponiamo che l'aritmetica di Peano sia coerente, allora esistono enunciati indecidibili, cioè esiste almeno un enunciato A tale che non si dimostra né A né non-A.

Questo teorema equivale al paradosso del mentitore ("io non sono dimostrabile") e porta allo scollamento definitivo tra la nozione di verità e quella di dimostrabilità, in quanto l'insieme delle verità è più grande dell'insieme delle cose dimostrabili.

2. se supponiamo che l'aritmetica di Peano sia coerente, allora non si dimostra che l'aritmetica di Peano è coerente, cioè la sua consistenza.

Questo teorema dimostra come tra gli enunciati indecidibili ci sia proprio la consistenza stessa dell'aritmetica di Peano.

Questi due teoremi valgono per qualsiasi sistema dimostrativo.

Inoltre, poiché gli assiomi di Peano con l'aggiunta o di A o di non-A sono in entrambi i casi comunque coerenti (dato che gli assiomi di Peano non dimostrano né A né non-A), e sapendo che o A o non-A non valgono sui numeri naturali, allora si dimostra che gli assiomi dell'aritmetica di Peano funzionano anche su altri infiniti modelli diversi dai numeri naturali: essi sono detti modelli non-standard. Gli assiomi di Peano non abbracciano completamente e solo i numeri naturali: ecco il fallimento del programma di Hilbert.

La matematica, quindi, partì da una crisi di tipo filosofico ed arrivò ad una grave incompletezza di fondo nei suoi assiomi; la fisica, invece, subì una grave crisi nei fondamenti della meccanica classica, ma arrivò ad essere più salda ed unificata grazie a nuove teorie.