Derivate parziali

DERIVATE PARZIALI

DEFINIZIONE

Sia una funzione di due variabili e sia un punto interno al suo dominio

Chiamiamo rapporto incrementale parziale rispetto alla variabile x il rapporto tra l'incremento parziale e l'incremento della variabile x.

se esiste finito il limite per tendente a zero del rapporto incrementale parziale rispetto ad x, si dice che la funzione è parzialmente derivabile rispetto ad x .

analogamente dato

allora la funzione è parzialmente derivabile rispetto a y se esiste finito il limite per tendente a zero del rapporto incrementale parziale rispetto ad y.

Riassumendo, se esistono finiti limiti indicati, si ha:

riportiamo di seguito due esempi:

Dagli esempi si comprende meglio che quando si fa la derivata prima rispetto ad x, la y deve essere considerata come una costante con derivata uguale a zero, viceversa quando si fa la derivata prima rispetto ad y, la x deve essere considerata come una costante con derivata uguale a zero.

Oltre alle derivate prime parziali possiamo calcolare anche le derivate parziali di secondo ordine o di ordine superiore al secondo considerando che se si parte da una derivate parziale prima fatta rispetto a x, la derivata parziale seconda può a sua volta essere fatta sia rispetto a x che rispetto a y.

in questo ultimo caso la derivata parziale seconda sarà chiamata mista.

              

normale                      mista

Per le derivate parziali seconde esiste un teorema:

Teorema di Schwarz. Sia  un punto interno del dominio di una funzione f(x;y). Se in un intorno di sono definite le derivate parziali seconde miste e se in esse sono entrambe continue, allora esse, in sono uguali:

 =