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Statistica descrittiva
INTRODUZIONE. - Statistica Ramo della matematica che studia i metodi per raccogliere, organizzare e analizzare un insieme di dati numerici, la cui variazione è influenzata da cause diverse, con lo scopo sia di descrivere le caratteristiche del fenomeno a cui i dati si riferiscono, sia di dedurre, ove possibile, le leggi generali che lo regolano.
La statistica si suddivide in statistica descrittiva o deduttiva e in statistica induttiva o inferenza statistica: nel primo caso si studiano solo i metodi per descrivere e analizzare le caratteristiche di un evento o di un gruppo di oggetti o individui, senza dedurre (inferire) conclusioni generali, valide per un gruppo più ampio; nel secondo, invece, si studiano le condizioni per cui le conclusioni dedotte dall'analisi statistica di un campione sono valide in casi più generali.
PROPRIETA' FONDAMENTALI. - Il metodo statistico ha lo scopo di descrivere e interpretare i cosiddetti"fenomeni collettivi"; infatti nelle indagini statistiche si esaminano fenomeni, ad es. demografici, sociali, etc., che riguardano appunto delle"collettività", o comunemente,"popolazioni".
In statistica, il termine"popolazione"designa un insieme di elementi che presentano tutti delle caratteristiche comuni, elementi che vengono chiamati"individui"o"unità statistiche".
Facciamo alcuni esempi di popolazioni statistiche:
I cittadini che hanno il diritto al voto nelle lezioni per il Parlamento.
Gli abitanti della Francia.
Le autovetture in circolazione attualmente il Italia.
Le aziende tessili in Liguria.
E' facile capire che una"popolazione statistica"si può classificare in vari modi, in relazione alle diverse quantità, o"caratteri"o"argomenti", o"attributi", dei singoli elementi.
Per esempio: Le autovetture circolanti in Italia possono essere classificate secondo la cilindrata, la casa costruttrice, l'anno di fabbricazione, la città di immatricolazione.
UNO DEGLI SCOPI DELLA STATISTICA E' LO STUDIO DI COME SI DISTRIBUISCE UNA DATA"POPOLAZIONE", IN RELAZIONE A UNO O PIU'"CARATTERI".
I caratteri che formano l'oggetto di una rilevazione statistica, possono essere:
a) Qualitativi, espressi in forma verbale, sovente rappresentata da aggettivi.
Esempi: il colore; la nazionalità; lo stato civile; l'affidabilità; l'attitudine ai lavori manuali; l'attitudine agli studi.
Questi caratteri possono differire per diverse manifestazioni, dette"modalità"del carattere.
Per esempio:
Il carattere"colore degli occhi"ha le modalità: celesti, grigi, neri.
Il carattere"stato civile"ha le modalità: celibe, nubile, coniugato.
b) Quantitativi, espressi da numeri.
Esempi: la statura, il peso, il numero di stanze di un appartamento .
Le modalità di un carattere quantitativo saranno, allora, espresse da numeri, che si chiamano anche"i valori"di quel carattere.
La media è un valore che è atto ad esprimere sinteticamente la distribuzione di intensità di un fenomeno collettivo, prescindendo dai singoli dati individuali.
Esistono vari tipi di"valori medi"il cui uso dipende dal particolare tipo di dati statistici in esame e dallo scopo che si vuole raggiungere.
L a m e d i a a r i t m e t i c a
La media aritmetica è quel valore che si può attribuire a ogni termine della distribuzione senza alterarne la somma. Dipende dal valore di tutte le osservazioni ed è fortemente influenzata dalla presenza di valori estremi.
DEFINIZIONE - Dati n numeri x1, x2, . xn, la loro media aritmetica è pari al rapporto tra la loro somma e il numero di oggetti sommati.
In simboli scriviamo:
ESEMPIO
Si vuole determinare la media dei voti riportati da una classe di 25 alunni in seguito ad un compito di matematica.
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Voti |
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Totale |
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Frequenza |
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Per calcolare la media aritmetica dei voti assegnati poniamo al numeratore la somma dei prodotti di ogni voto per il numero degli studenti che lo hanno meritato e, al denominatore, il numero totale degli studenti su cui sono ripartiti i voti.
Otteniamo:
Da cui otteniamo che la media aritmetica dei voti assegnati è 5,64.
OSSERVAZIONE: in questo caso, poiché si calcola la media aritmetica di valori di una variabile statistica che hanno frequenza diversa da 1, si parla di media aritmetica ponderata e la si chiama ancora media campionaria.
La media geometrica (calcolabile solo se tutti i termini sono positivi e nessuno è nullo) è quel valore che si può attribuire a ogni termine della distribuzione senza alterarne il prodotto.
DEFINIZIONE - si chiama media geometrica degli n numeri positivi x1, x2 ., xn il numero positivo.
xg = (x1 x2 . xn) 1 / n = x1 x2 . xn
La media armonica è quel valore che si può attribuire a tutti i termini senza alterare la somma dei loro reciproci.
DEFINIZIONE - si chiama media armonica degli n numeri positivi x1, x2 . xn, il numero positivo
n
Xa = (1 / x1) + (1 / x2) + . + (1 / xn)
DEFINIZIONE - lo scarto della media è la differenza tra ciascuno dei valori della variabile e la loro media.
Se indichiamo con M la media dei valori di una qualunque variabile statistica e con S1 lo scarto del valore x1 della variabile da noi posseduta, si può calcolare ciascuno scarto con la formula:
S1 = x1- M, S2 = x2- M . Sn = xn- M
ESEMPIO:
Se in una variabile statistica x1 risulta essere 3 e M = 5,64, allora lo scarto della media sarà:
S1 = 3- 5,64 = 2,64
DEFINIZIONE - la varianza di una variabile statistica consiste nella media dei quadrati degli scarti.
Se una variabile statistica X assume n valori xi, che hanno media M(x) e scarti si = xi - M(x) la varianza, indicata simbolicamente con VAR(x) o s , è espressa da:
xi - M(x)) 2 + (x2 - M(x)) 2 + . + (xn- M(x)) 2
VAR (X) =
n
Per rispondere a tale esigenza si introduce lo scarto quadratico medio.
DEFINIZIONE - lo scarto quadratico medio o deviazione standard di una variabile statistica è la radice quadrata della varianza.
(xi - M(x)) 2 + . + (xn- M(x)) 2
s
n
Nel calcolo della media, tale valore può risultare molto condizionato da termini estremi.
Si definisce allora un nuovo indice statistico di posizione, la mediana.
DEFINIZIONE - si chiama mediana degli n numeri x1, x2, . xn ogni numero xm tale che il numero degli x1, x2, . xn minori o uguali a xm sia uguale al numero degli x1, x2, . xn maggiori o uguali a xm. In altri termini, rappresentati gli x1, x2, . xn come punti di una retta, xm è un punto"centrale"rispetto agli x1, x2, . xn; ne cadono tanti alla sua sinistra quanti alla sua destra.
Dunque, in un insieme di numeri ordinato la mediana è:
- l'elemento centrale se i valori sono in numero dispari;
- la media aritmetica dei due termini centrali se i dati sono in numero pari.
ESEMPIO - si vuole calcolare la mediana di alcune temperature massime registrate nel giugno 1998 a Milano. I valori sono: 29, 24, 22, 25, 24, 21, 23, 26, 28, 30.
Il calcolo della mediana richiede innanzitutto l'ordinamento delle temperature.
Otteniamo così:
Poiché i dati sono in numero pari, bisogna calcolare la media aritmetica dei due elementi centrali: 24, 25.
Così avremo:
M = (24 + 25) / 2 = 24,5 °C
L a m o d a
DEFINIZIONE - Data una distribuzione di frequenze di un carattere quantitativo, si chiama"moda"ogni valore del"carattere"al quale corrisponde la"massima"frequenza.
ESEMPIO - Riferendoci all'esercizio precedente, si vuole calcolare la moda.
Si osserva che un solo valore della temperatura massima si è presentato più di un giorno, quindi la moda è: 24 °C.
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