Il teorema degli incrementi finiti(o di Cauchy)

Il teorema degli incrementi finiti(o di Cauchy)

Se F(x) e φ(x) sono due funzioni continue nell'intervallo chiuso [a,b] e derivabili nell'intervallo aperto (a,b) e se la derivata φ'(x) non si annulla mai,allora esiste almeno un punto c di (a,b) per il quale si ha:

f(b) - f(a) / (b) - (a) = f' (c) / φ' (c)

Dimostrazione

Osserviamo innanzi tutto che (b) ≠ φ(a) per il teorema di Rolle φ' (x) dovrebbe annullarsi almeno in un punto di (a,b),contro l'ipotesi. Premesso questo,per dimostrare il teorema si introduce la funzione ausiliaria:

g(x) = f(x) - f(b) - f(a) / (b) - φ(a) [φ(x) - φ(a) ]

che soddisfa al teorema di Rolle, essendo g(a) = g(b) = 0. Per un conveniente punto c di (a,b) sarà pertanto:

g' (c) = f' (c) - f(b) - f(a) / φ(b) - φ(a) · φ' (c) = 0

e quindi:

f (b) - f (a) / φ (b) - φ (a) = f' (c) / φ' (c)

Massimi e minimi assoluti e relativi di una funzione

Incominciamo con il definire cosa si intende per massimo e minimo assoluto e per massimo e minimo relativo.

Massimi e minimi assoluti

Sia f(x) una funzione definita nell'intervallo di estremi a e b e sia x₀ u punto di tale intervallo nel quale la funzione assume un valore non minore dei valori che essa assume negli altri punti dell'intervallo stesso;si dice allora che la funzione ha in x₀ un massimo assoluto. Il valore f(x) si dice massimo assoluto della f(x) nell'intervallo considerato.

Analogamente:

Se la funzione assume in un punto x₀ un valore non maggiore dei valori assunti negli altri punti di un intervallo cui x₀ appartiene,si dice che essa ha in detto punto un minimo assoluto; il valore f(x) si dice allora minimo assoluto della f(x) nell'intervallo stesso.

Massimi e minimi relativi

Si dice invece che:

la funzione f(x) ha nel punto x₀ di un intervallo un massimo relativo se esiste nell'intervallo un intorno di x₀ per ogni x del quale risulti:

f(x) ≤ f(x₀)

Analogamente,si dice che:

La f(x) ha nel punto x₀ un minimo relativo se esiste un intorno di x₀ per ogni x del quale risulti:

f(x) ≥ f(x₀)

Il valore f(x₀) che la f(x) assume in un punto di massimo o di minimo relativo si chiama un massimo relativo o un minimo relativo di f(x).

Il punto x₀ si dice poi massimo relativo proprio o minimo relativo proprio se esiste un intorno di x₀ per ogni x del quale sia rispettivamente:

f(x) < f(x₀) o f(x) > f(x₀)

Affinché un punto x₀ sia un massimo relativo proprio[minimo relativo proprio] per la funzione f(x) è quindi sufficiente che la f(x) sia crescente[decrescente] in un intorno sinistro di x₀ e decrescente[crescente] in un intorno destro di x_0.