K. gÖdel e la crisi dei fondamenti della matematica

K. GÖDEL E LA CRISI DEI FONDAMENTI DELLA MATEMATICA

PARADOSSI - ANTINOMIA DI RUSSEL E IL TEOREMA DI GÖDEL

Nei primi decenni del '900 i fondamenti della matematica furono fortemente messi in crisi da alcuni filosofi-matematici.

Per capire l'ambito in cui si inserisce il lavoro di Gödel bisogna dire che all'inizio del '900 era nata l'idea di creare un'assiomatizzazione dell'aritmetica che permettesse di derivare con certezza, in modo meccanico, tutti i teoremi veri. Si erano assunti questo imponente compito Russell e Whithead, che pubblicarono i loro "Principia Mathematica", che si proponevano appunto questo ambizioso obiettivo. ( Il problema è che non c'era nessuna garanzia che il loro sistema fosse davvero completo ne', peggio ancora, che fosse coerente).

Antinomia di Russell

Per capirla partiamo da un'antinomia più semplice il cosiddetto "paradosso di Epimenide" dal nome di colui che lo teorizzò per primo, o più comunemente "paradosso del mentitore", che si può formulare in:

"IO MENTO"

Questa proposizione è vera o falsa? -> contraddizione

Se in una teoria si può dimostrare sia un teorema T sia la sua negazione ­­¬T, c'è una contraddizione che rende quindi la teoria inservibile.

Antinomia = proposizione contraddittoria in sé, tale cioè che "se è vera allora è falsa, se è falsa allora è vera"

Russell ha scoperto un'antinomia nella teoria degli insiemi. Li ha suddivisi in due gruppi:

Insiemi che hanno loro stessi tra gli elementi, quindi che contengono loro stessi. Esempio "l'insieme dei concetti astratti" è anch'esso astratto quindi si contiene.

Insiemi che non hanno loro stessi tra gli elementi, quindi che non contengono loro stessi. Esempio "l'insieme dei numeri naturali" non è un numero naturale quindi non si contiene.

Chiama K gli insiemi che non si contengono

K =

K appartiene o no a se stesso?

Se K appartiene a K (è come un x) per definizione K non appartiene a K

E se K non appartiene a K allora per definizione contraria K appartiene a K

Questo mette in crisi la teoria degli insiemi sulla quale si era costruito tutto l'edificio matematico.

Elemento comune a tutte le antinomie: autoreferenzialità = il riferirsi a se stessi, cioè in una teoria si può affermare qualcosa attorno al linguaggio o alla teoria stessa.

Altra variante  di paradosso come antinomia di Russell

si dividano gli aggettivi italiani in due categorie :

Insieme agg. autologici  = che si riferiscono a se stessi (es. "polisillabo", "italiano")

Insieme agg. eterologici = che non si riferiscono a loro stessi (es. "monosillabo", "francese")

L'aggettivo eterologico è autologico o eterologico?

Russell cercherà di risolvere questo problema con la "teoria dei tipi" (espressa nei "Principia Mathematica"): un insieme può essere elemento di un altro insieme solo se quest' ultimo è di un tipo  più generale; crea una specie di gerarchia di insiemi.

Questi paradossi sembrano tutti indicare uno stesso colpevole,cioè l'autoreferenza ovvero la presenza di "Strani Anelli".

La teoria dei tipi aveva risolto il paradosso di Russel , ma non aveva nessun effetto su quello di Epimenide.

Teorema di Gödel

Prima di lui David Hilbert,matematico tedesco, aveva proposto di distinguere la matematica dai discorsi sulla matematica: la meta-matematica. Così un enunciato, che non può essere dimostrato all'interno di un sistema deduttivo, può essere ben dimostrabile con l'uso di un metalinguaggio (=dimostrazioni matematiche che si usano per dimostrare la matematica , cercando di evitare procedure che implicano l'infinito). Questo processo, in teoria, può essere riprodotto ad infinitum in modo ricorsivo. Egli voleva che si dimostrasse rigorosamente che il sistema dei "Principia Matematica" fosse sia coerente (non contraddittorio),sia completo.

L'obiettivo di Hilbert ,infatti, era quello di dimostrare la non contraddittorietà dei sistemi di assiomi delle teorie matematiche, ma Gödel con i suoi teoremi dimostrerà che non è possibile.

Primo teorema di Incompletezza

Partendo dal teorema di completezza, sulla verità di una formula:

Formula vera quando risulta vera qualunque sia il valore di verità delle formule che la compongono ( tautologia)

Formula vera quando è dimostrabile con un sistema di assiomi regole di inferenza

( teorema)

Quindi si può facilmente dimostrare che:

teorema  tautologia

Infatti, ogni teorema eredita la verità già contenuta negli assiomi, perché gli assiomi sono sempre veri e le regole di inferenza trasformano formule vere in formule vere.

Gödel dimostra che:

tautologia  teorema

ciò vuol dire che ogni formula universalmente vera (tautologia) può essere dimostrata in un sistema di assiomi e di regole di inferenza (come un teorema). Così il sistema sarebbe completo.

Successivamente invece Gödel dimostrò che la matematica non è in grado di dimostrare la sua non-contraddittorietà.

Teorema di incompletezza = se un sistema di assiomi dell'aritmetica elementare è coerente (= è non contraddittorio), allora non è completo.

In altre parole se abbiamo un sistema di assiomi che non ha contraddizioni al suo interno, si deve rinunciare all'idea che al suo interno si possano dimostrare tutte le proposizioni della matematica

proposizioni indecidibili).

Per spiegarlo, ragionamento di Gödel:

ogni proposizione della matematica (=proposizione sulla matematica) viene associata a un numero  (una serie di numeri) numero di Gödel  ( metodo detto GÖDELIZZAZIONE)

In un sistema come quello che descrive l'aritmetica dei numeri naturali ogni formula e ogni dimostrazione è una successione di simboli, e così tutte le considerazioni metamatematiche sull'aritmetica possono esprimersi con formule.

All'interno di esse Gödel costruisce una formula aritmetica detta la formula G:

formula G = " la formula G non è dimostrabile"

Come nel paradosso del mentitore, c'è una contraddizione:

se affermo che G è dimostrabile (quindi vera), allora G non è dimostrabile (risulta falsa)

se affermo che G non è dimostrabile (quindi falsa), allora G è dimostrabile (risulta vera)

Si è ottenuta una formula vera ma non dimostrabile nel suo stesso sistema la teoria non è completa!

Il primo teorema di incompletezza di Gödel dimostra che qualsiasi sistema che permette di definire i numeri naturali è necessariamente incompleto: esso contiene affermazioni di cui non si può dimostrare né la verità né la falsità.

Il fatto che possano esistere sistemi incompleti non è una scoperta particolarmente sorprendente. Ad esempio se si elimina il postulato delle parallele dalla geometria euclidea si ottiene un sistema incompleto (nel senso che il sistema non dimostra tutte le proposizioni vere). L' essere incompleto per un sistema formale significa semplicemente - da un punto di vista semantico - che esso non include tutti gli assiomi necessari a caratterizzare univocamente uno specifico modello (è il caso ad esempio i primi 4 assiomi di Euclide che ammettono come modello sia la geometria euclidea sia le geometrie non euclidee).

Ciò che Gödel ha mostrato è che, in molti casi importanti, come nella teoria dei numeri, nella teoria degli insiemi o nell' analisi matematica, non è mai possibile giungere a definire la lista completa degli assiomi che permetta di dimostrare tutte le verità. Ogni volta che si aggiunge un enunciato all'insieme degli assiomi, ci sarà sempre un altro enunciato non incluso

Secondo teorema di Incompletezza

Gödel crea un'altra formula:

formula A = "l'aritmetica è consistente"

Dimostra poi che:

A G

=se l'aritmetica è consistente, allora G non è dimostrabile

Ma la stessa A è indimostrabile, come lo era G. Questo perché se A fosse vera (cioè dimostrabile), dato che A implica G, anche G sarebbe vera, ma noi sappiamo che G è proposizione indecidibile nel sistema (né vera né falsa).

A vera

A G

G vera

A non è perciò dimostrabile.

Non è quindi dimostrabile che l'aritmetica è consistente.

La non contraddittorietà di un sistema si può solo dimostrare ricorrendo ad un metalinguaggio che utilizzi strutture più complesse del sistema stesso ( come teoria dei tipi).

Per tentare di risolvere il problema dell'incompletezza potremmo ovviamente aggiungere G agli assiomi del sistema e allora G non sarebbe più indecidibile perché sarebbe un teorema.

Però si potrebbe comunque formare una stringa che esprimesse l'enunciato "io non posso essere dimostrata nel sistema +G" e saremmo da capo. 

Anche aggiungere un intero sistema di assiomi con G, G', G'', cioè G ω, non servirebbe a nulla.

Il crollo avviene inevitabilmente perché il sistema è abbastanza potente da contenere assiomi autoreferenziali.