Equazioni differenziali

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

DEFINIZIONE

Si vuole determinare la funzione , essendo nota una relazione qualsiasi tra la variabile indipendente x, la funzione y e la sua derivata.

Sia quindi una relazione tra x,y,y'=del tipo

           Forma Implicita

oppure

Forma Normale o Esplicita

essa prende il nome di Equazione differenziale del primo ordine ed ogni funzione che soddisfa l'equazione differenziale viene chiamata soluzione o integrale.

L'incognita di questa equazione non è soltanto la variabile x ma è la funzione . Questo tipo di equazione differenziale è detta ordinaria perché la soluzione da ricercare è funzione della sola variabile x. L'ordine dell'equazione differenziale è stabilita dalla derivata di ordine massimo che vi compare.

EQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL PRIMO ORDINE

Un'equazione differenziale del primo ordine è scritto nella forma

potrebbe mancare la variabile indipendente x e/o la funzione y ma deve esserci obbligatoriamente la derivata prima di y.

Ai fini delle successive risoluzioni è importante ricordare che

prima di passare alla risoluzione dell'equazione differenziale del primo tipo enunciamo il seguente teorema.

TEOREMA DI CAUCHY o dell'esistenze e dell'unicità della soluzione

Considerata una continua sul piano A:

se è  un punto interno ad A è possibile determinare un numero d>0 tale che nel'intervallo esiste almeno una funzione , continua insieme alla sua derivata prima ,che soddisfi in I l'equazione differenziale e la condizione, detta condizione iniziale ;

se, oltre alle ipotesi iniziali, in ogni punto interno ad A esiste ed è continua la derivata parziale , allora la soluzioneesiste ed è unica

Con questo teorema abbiamo dimostrato sia l'esistenza della funzione (punto 1) sia l'unicità della stessa funzione (punto 2).

Il problema di determinare la funzione soddisfacente la condizione iniziale, si dice anche problema di cauchy.

L'interpretazione geometrica del teorema è la seguente:

La soluzione soddisfacente la condizione , la cui esistenza è affermata dal teorema di Cauchy, rappresenta geometricamente una curva integrale passante per il punto .

Perciò il teorema di Cauchy, nelle ipotesi fatte su si può formulare nel seguente:

Per ogni punto di A passa una e una sola curva integrale dell'equazione differenziale (vedi figura).

Dal teorema enunciato segue quindi che l'equazione differenziale ammette infinite curve integrali, tali che per ogni dato punto di A, ne passi una e una sola.

Si osservi infine che il teorema di Cauchy afferma l'esistenza e l'unicità della soluzione soltanto in un conveniente intorno del punto iniziale x₀.

Si dimostra però che la curva integrale passante, ad esempio per il punto si prolunga fino ad incontrare la frontiera dell'insieme A; tutto questo insieme è dunque solcato da curve integrali, e per ogni punto di d ne passa una sola.

Possiamo allora definire tre tipi di integrali:

1. Si chiama integrale generale o soluzione generale dell'equazione differenziale una funzione:

,

della variabile x e di una costante arbitraria c, soddisfacente le seguenti condizioni:

Soddisfa l'equazione differenziale, qualunque sia il valore numerico della costante c.

Se è un qualunque punto dell'insieme A, è possibile, in un sol modo, determinare un valore c₀, per cui risulti:

.

A volte può capitare che l'integrale generale dell'equazione , anziché sotto la forma esplicita, venga dato sotto forma implicita, mediante una relazione del tipo:

.

2. Si chiama integrale o soluzione particolare dell'equazione differenziale, ogni funzione:

,

dedotta dalla soluzione generale , sostituendo in quest'ultima al generico c il valore c₀, ottenuto in corrispondenza a un fissato punto iniziale di A.

3. Integrali singolari o di frontiera per l'equazione .

Nelle ipotesi del teorema di Cauchy, enunciato nel numero precedente, comunque si fissi un punto dell'insieme aperto A, e quindi un punto interno a A, esiste uno ed un solo integrale particolare dell'equazione differenziale soddisfacente la condizione iniziale .

Supponiamo ora di scegliere il punto sulla frontiera di A (se A non è tutto il piano R² e supposto che f sia definita anche lungo la frontiera di A) e di cercare ancora un integrale dell'equazione differenziale soddisfacente la condizione iniziale. In questo caso il teorema di Cauchy non è più applicabile ma, supposta la f continua in A e sulla frontiera di A, può darsi che esista egualmente una o più curve integrali soddisfacenti alle condizioni .

Si possono allora presentare due casi:

1° CASO - Tale curva ha punti interni a A;

2° CASO - Tale curva giace interamente sulla frontiera A.

Si chiama allora integrale singolare o di frontiera, dell'equazione differenziale, ogni eventuale integrale la cui corrispondente curva integrale risulti tracciata interamente sulla frontiera dell'insieme A (non si può ottenere dall'integrale generale per valori reali della costante c)