Equazioni di secondo grado

Equazioni di secondo grado

Formula

Ricordando che un'equazione di secondo grado, nella sua forma standard, è costituita da un polinomio di secondo grado eguagliato a 0:

• ax² + bx + c = 0

Abbiamo che la formula di risoluzione, ovvero la formula che permette di trovare i due valori che sostituiti al posto della x verificano l'uguaglianza, è la seguente:

-b ± √(b² - 4ac)

2a

Scegliendo il segno + o il segno - si trovano alternativamente i due valori.

Nell'interprestazione della formula bisogna prestare attenzione al segno dell'espressione posta sotto segno di radice: infatti sappiamo che un nmero negativo non ha radici reali. Ora, per convenzione:

b² - 4ac è chiamato ∆ (delta)

A seconda del segno di ∆ si hanno tre casi:

1. ∆ > 0: l'equazione ammette due radici reali distinte;
2. l'equazione ammette due radici reali coincidenti;
3. ∆ < 0: l'equazione ammette due radici complesse coniugate.

Formula ridotta

Se b è un numero intero, e pari, per semplificarci i calcoli, possiamo adottare la seguente formula, detta ridotta:

-b/2 ± √((b/2)² - ac)

a

Concettualmente è identica alla precedente, ma in alcuni casi abbrevia i tempi di calcolo.

Sulla stessa falsariga, se, oltre a b pari, abbiamo anche a = 1, possiamo applicare la ridottissima:

-b/2 ± √((b/2)² - c)

Equazioni parametriche

Un'equazione parametrica è un'equazione nella quale è presente un parametro, ovvero una lettera il cui valore non noto fa variare le proprietà dell'equazione. Di solito, all'eqauzione parametrica è abbinata una condizione. Es.

x² + 2kx + 5 = 0;

determinare k in modo che la somma delle radici sia 6

L'esercizio consiste nel trovare tutti ivalori di k che rendono vera la condizione. In questo caso, abbiamo:

• a = 1
• b = 2k
• c = 5

E siccome la somma delle radici vale -b/a, basterà imporre:

-b/a = 6

cioè:

-2k = 6

e infine

k = -3

Verifica:

per il valore trovato, l'equazione diventa

x² - 6x + 5 = 0, che ha per radici 1 e 5.

Le condizioni per la risoluzione delle parametriche possono essere molto varie. Per soddisfarle, bisogna ricordarsi che:

• la somma delle radici vale -b/a;
• il prodotto delle radici vale c/a;
• la differenza delle radici vale √∆ / a;
• una radice è 0 se e solo se c = 0;
• z è radice se az² + bz + c = 0 (per definizione di radice)

Ecco una tabella riepilogativa:

E molti altri casi che si possono ricondurre a questi.