LA
GEOMETRIA DI RIEMANN è altrettanto valida rispetto alle altre
Poiché i postulati della geometria
riemanniana descrivono correttamente fatti concernenti la sfera, devono essere
validi sulla sfera anche i teoremi derivati da essi mediante un ragionamento
deduttivo valido.
Fig. 9. Tutte
le linee perpendicolari a un cerchio massimo di una sfera si incontrano in un
punto.
Esaminiamone alcuni. Un teorema dice che
tutte le perpendicolari a una linea retta si incontrano in un punto. Considerando
il cerchio massimo L della figura 9 come la nostra linea retta, troviamo
che tutte le perpendicolari a I si incontrano in P. Se, ad
esempio, L fosse l'equatore terrestre, P sarebbe il polo nord o
sud. Un altro teorema dice che la somma degli angoli di un triangolo è più di
180 gradi. Poiché le linee rette dei nuovi postulati introdotti sono cerchi
massimi, un triangolo è la figura formata da archi di cerchi massimi. Un tale
triangolo è illustrato da ABP nella figura 9. Poiché due fra gli angoli
di questo triangolo sono angoli retti, la somma dei tre angoli è
necessariamente maggiore di 180s. Questo fatto è vero per ogni "triangolo" su
una sfera.
Risulta dunque chiaro che ogni teorema della
geometria riemanniana può essere interpretato sulla sfera immaginando
semplicemente le linee rette che compaiono nei teoremi come cerchi massimi
della sfera. E' possibile perciò dare un significato geometrico e
intuitivamente soddisfacente alla geometria riemanniana. Questa geometria
fornisce inoltre risposte esatte a problemi pratici e scientifici implicanti
relazioni geometriche sulla superficie della sfera. Essa è perciò, almeno in
questa misura, una geometria del mondo fisico. Di fatto ogni argomentazione a
favore della tesi che il nostro mondo fisico potrebbe essere non euclideo nel
senso della geometria di Bolyai e di Lobacevskij si applica altrettanto bene
alla geometria riemanniana.
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