Cenni di geometria infinititesimale

La geometria infinitesimale è un tipo di geometria molto particolare, legata tantissimo all'algebra e alla geometria analitica. Immaginiamo di dover studiare in dettaglio una curva, cosa possiamo fare? Se non conosciamo molto bene questa curva con i normali metodi non si riesce a fare molto, ma se invece conosciamo l'equazione della curva possiamo fare molto di più.

In pratica la geometria infinitesimale cerca di dividere una curva in infiniti 'pezzettini' in modo che ognuno di questi risulti infinitamente piccolo, apparentemente questo risulta impossibile e del tutto privo di senso, ma grazie all'algebra e alla geometria analitica quest'operazione è perfettamente fattibile. In particolare in questo tipo di geometria assume particolare importanza (così come nella geometria differenziale, 'parente' stretta di quella infinitesimale) il concetto di retta tangente a una curva, una retta viene detta tangente a una curva quando ha almeno due punti di intersezione con la curva coincidenti, spesso si crede che una retta tangente non attraversi mai la curva, in realtà questo accade solo nel caso in cui i punti che coincidono sono in numero pari, al contrario se i punti che coincidono sono in numero dispari, la tangente attraversa la curva, in questo caso il punto di tangenza è detto flesso della curva. La geometria infinitesimale si occupa analiticamente di trovare un 'modo' per trovare la retta tangente a una curva in un suo punto, questo sistema deve essere generale per famiglie di curve.

Grazie a questo tipo di calcoli la geometria infinitesimale riesce anche a calcolare aree sottese a una curva o comprese fra due curve, dividendo la zona di cui si vuole calcolare l'area in infiniti rettangoli di base 'quasi nulla', cioè che tende 0, per calcolare l'altezza di questi rettangoli si usa un sistema, che qui non approfondiremo, strettamente collegato al metodo per calcolare le tangenti. Questo è estendibile anche al calcolo di volumi e di superfici di solidi.

Tutte queste nozioni sono estendibili anche allo spazio n-dimensionale, anche se con qualche difficoltà.

Grazie alla geometria infinitesimale è possibile trovare tutti i punti particolari di una curva, o di una superficie (in teoria tutto ciò è estendibile anche allo spazio n-dimensionale, ma in questo caso mancherebbe una rappresentazione grafica, quindi non cercheremo di capire in che senso ci siano dei punti particolari nello spazio n-dimensionale), e tutte le sue caratteristiche, grazie a ciò possiamo disegnare la curva o la superficie in modo preciso, anche se di fatto a volte i calcoli da svolgere risultano troppo complessi per eseguirli. Questa caratteristica della geometria infinitesimale è enormemente usata in analisi infinitesimale, quella branca dell'analisi che si occupa di funzioni studiandole in intervalli infinitamente piccoli.