Cenni di geometria frattale

La geometria frattale è forse la più astratta delle branche della geometria trattate in questo sito, perciò sarò costretto a dedicargli solo poche righe, anche perché, sinceramente, io stesso non ne so quasi nulla.

La geometria frattale è la geometria, come dice il nome, che studia i frattali. I frattali sono delle entità geometriche che hanno un'importanza molto grande nella matematica moderna, anche se sono stati scoperti abbastanza recentemente. Queste entità geometriche sono infinitamente complesse, ma sopratutto esse sono autosomiglianti, cioè se noi prendiamo un frattale e lo guardiamo senza ingrandimento, e lo guardiamo dopo averlo ingrandito un certo numero di volte, esso ci appare identico nei due casi, da qui nasce che chiaramente il frattale non è disegnabile completamente, si capisce anche la loro infinità complessità, infatti se dopo averlo ingrandito un certo numero di volte è identico a esso stesso senza ingrandimento, si capisce che ingrandendolo ancora lo stesso numero di volte si presenterà ancora identico, e così via all'infinito.

La cosa più sorprendente di questa geometria è che le normali dimensioni, in qualunque numero si presentino, non bastano a spiegarli, per comprenderli completamente bisogna accettare che le dimensioni possano assumere valore frazionario, questo sembra una cosa del tutto assurda, più di qualunque altra scritta qui, ma è davvero così, inoltre si è scoperto che anche i frattali hanno delle applicazioni pratiche, nella grafica per computer e nella teoria del caos, quella teoria matematica che studia fenomeni caotici, cioè enormemente complessi senza analizzare tutte le variabili del caso.

I frattali sono entità particolarissime, né la geometria differenziale, né la geometria infinitesimale sono in grado di studiarli, per questo è nata la geometria frattale, una teoria a sé stante.

Il fiocco di neve di Koch, uno dei frattali più semplici e conosciuti, si elabora a partire da un triangolo equilatero, suddividendo ogni suo lato in tre parti uguali e costruendo un triangolo equilatero su ciascun segmento mediano. Ripetendo più volte l'operazione per tutti i triangoli così ottenuti si produce una figura sempre più complessa, che in ogni dettaglio assomiglia alla struttura macroscopica di partenza, come è proprio di tutti i frattali.