Cenni di geometria differenziale

Parente stretta della geometria infinitesimale la geometria differenziale è davvero interessantissima, purtroppo anche tracciare a grandi linee i suoi concetti è molto difficile, perché risulta essere un tipo di geometria complessa e abbastanza lontana dall'intuizione, vedremo dunque solo di cosa si occupa questa geometria.

Normalmente in geometria le figure vengono considerate nella loro struttura complessiva. La geometria differenziale rappresenta un metodo di ricerca fondamentalmente diverso. Per prima cosa essa si occupa delle curve e delle superfici solo nell'intorno, cioè nelle 'immediate vicinanze' di un punto qualunque della curva, per fare ciò solitamente si confronta quest'intorno con un ente geometrico il più semplice possibile, una retta o una circonferenza o magari un piano o una sfera nelle tre dimensioni, in questo modo si ottiene, per esempio il noto concetto di tangente. Questa parte della geometria differenziale è chiamato geometria differenziale 'in piccolo', ed è completata da un principio a cui la geometria 'in piccolo' si rifà, l'area della geometria differenziale che si occupa di questo principio è detta 'geometria differenziale in grande'. Se sappiamo che una figura geometrica continua (il termine ha quasi lo stesso significato che ci indica l'intuizione, quindi non lo specifichiamo) ha una determinata proprietà geometrico - differenziale nell'intorno di ognuno dei suoi punti allora possiamo dedurre delle proprietà essenziali riguardanti la struttura complessiva della figura. Le geometria differenziale studia anche altri problemi, legati a enti molteplici, come schiere di rette.

Finalmente la geometria differenziale ci conduce al seguente problema, che Gauss e Riemman studiarono per primi: la costruzione della geometria come un tutto, con l'aiuto di concetti e assiomi (vedi logica) che si riferiscono soltanto all'intorno immediato di ogni punto. Così ebbe origine un gran numero di possibili geometrie generali, non ancora del tutto esaminate, di cui le geometrie non euclidee non sono che un esempio, importante, ma molto particolare.

Abbiamo visto che la geometria differenziale, come la geometria infinitesimale, fa uso di segmenti infinitamente piccoli, questo fatto di per sé la allontana dalla nostra intuizione, ma essa è ancora più astratta e complessa, per cui non andiamo oltre nello studio di questa particolare disciplina, basiti pensare che qui il numero delle dimensioni può essere tranquillamente infinito.