Teoria della relatività Generale

Teoria della relatività Generale

RELATIVITA' GENERALE (CENNI)

L'estensione della relatività ristretta ad una teoria ancora più generale ha mutato definitivamente il pensiero fisico.

Uno dei motivi che spinsero Einstein ad indagare in questa direzione fu una questione di simmetria: la relatività ristretta aveva stabilito l'uguaglianza di tutti i sistemi inerziali, lasciando fuori i sistemi accelerati, che possono collegarsi solo tenendo conto di forze ben individuabili con vari esperimenti. Questo poneva i sistemi inerziali su una posizione privilegiata, diversa rispetto ai non inerziali, fatto che turbava Einstein dal punto di vista della completezza e dell'eleganza della struttura teorica.

2.1 L'esperimento dell'ascensore di Einstein

Un celeberrimo esperimento ideale, noto come ascensore di Einstein, fu l'intuizione da cui prese le mosse tutto il successivo sviluppo della teoria.

Fig.  15 Principio di equivalenza tra una navicella ferma in uno spazio gravitazionale, una nello spazio vuoto, l'altra in accelerazione

Consideriamo un ascensore in caduta libera dovuta a un campo gravitazionale. Un osservatore, che non avrebbe modo di vedere all'esterno, supporrebbe di essere in assenza di gravità; per provarlo, egli lascia cadere una moneta ed osserva che la moneta resta alla stessa altezza nella cabina ovvero non cade rispetto ad essa, che per l'osservatore è l'unico punto di riferimento. Questo porterebbe allora a dire che un sistema in caduta libera in un campo gravitazionale, è indistinguibile (almeno per un certo periodo) da un altro non sottoposto ad alcuna forza.

D'altra parte, quando l'ascensore posto in un campo gravitazionale sta fermo, l'osservatore sente la forza di gravità (e una moneta lasciata libera cade ai suoi piedi); non appena l'ascensore inizia a cadere, la moneta resta a mezz'aria: in questo caso l'osservatore può pensare che sia comparso all'improvviso un campo gravitazionale dalla direzione del soffitto, che bilancia esattamente quello di partenza; di nuovo non può decidere quale delle due situazioni si sta verificando.

I sistemi accelerati così considerati non, dovevano essere così eccezionali.

Da questi presupposti, Einstein cercò di costruire una visione della realtà parallela a quella della legge d'inerzia: mentre per la legge d'inerzia un corpo non sottoposto a forze si muove di moto uniforme (velocità costante in modulo e direzione e quindi lungo una retta), un corpo sottoposto alla sola gravità si muove nello spazio-tempo, deformato dal campo gravitazionale, lungo una traiettoria che costituisce il percorso più breve tra due punti (in uno spazio euclideo tale traiettoria coincide proprio con il segmento rettilineo che unisce due punti).

Principio di equivalenza

POSTULATO

La logica concettuale della relatività generale è fondamentalmente espressa dal cosiddetto principio di equivalenza fra un campo gravitazionale e un sistema di riferimento accelerato.

• Ogni sistema di riferimento inerziale, immerso in un campo gravitazionale uniforme, è del tutto equivalente a un sistema di riferimento uniformemente accelerato (rispetto al primo) nel quale non agisca nessun campo gravitazionale.

Tale principio ha una conseguenza veramente inaspettata; non c'è più bisogno di una forza gravitazionale, perché essa diventa una proprietà geometrica dello spazio.

La presenza di un oggetto dotato di massa, modifica le proprietà geometriche dello spazio quadridimensionale, nel senso che tende ad incurvarlo.

Fig. 16  Impalcatura geometrica dello spazio

Poiché nella relatività generale la massa rappresenta una forma di energia, le proprietà geometriche dello spazio-tempo sono determinate, oltre che dalla materia ordinaria, dalla densità di energia dell'universo. La meccanica newtoniana concepisce uno spazio "piano" mentre nella relatività

einsteiniana, se consideriamo due masse puntiformi, nessuna delle due esercita forza sull'altra. Entrambe, però, incurvano lo spazio e, se possono muoversi, seguono due linee geodetiche. E come afferma il grande scienziato americano John A. Wheeler:

"la materia dice allo spazio come incurvarsi e lo spazio dice alla materia come muoversi".

<<"Tutto è soggettivo", dite voi: ma già questa è un'interpretazione, il "soggetto" non è niente di dato, è solo qualcosa di aggiunto con l'immaginazione, qualcosa di appiccicato dopo.-Infine è necessario mettere ancora l'interprete dietro all'interpretazione? Già questa è invenzione, ipotesi">>

Il Prospettivismo di Nietzsche (Frammenti postumi, 1885-1887)

Fig. 17 Friederich Wilhelm Nietzsche (Rocken, 15 ottobre 1844 - Weimar, 25 agosto 1900)

Coordinate Gaussiane e l'esempio dei quadrati sulla lastra di marmo.

Immaginiamo ora una lastra di marmo liscia e perfettamente quadrata in cui vi siano disegnato all'interno una serie di quadrati piccolissimi. Immaginiamo inoltre di possedere certi strumenti di misura che chiamiamo regoli, cioè degli intervalli di misura unitari. Adesso proviamo a disporre i regoli in ogni lato della lastra sopra la linea disegnata formando un quadrato; a questo quadrato ne giustapponiamo degli altri uguali, ciascuno dei quali ha un lato in comune con il precedente. Procediamo in questo modo finché in ultimo l'intera lastra di marmo sia ricoperta di quadrati. I lati di ogni quadrato microscopici saranno piccolissimi. Stupisce quasi che noi possiamo compiere questa faccenda senza incappare nelle massime difficoltà.

Basta considerare quanto segue. Se infatti la lastra di marmo viene riscaldata, la sua superficie comincia a dilatarsi e così avviene anche alle linee disegnate. Se la lastra fosse riscaldata per esempio nel centro, gli effetti della dilatazione sarebbero più evidenti in mezzo e quindi se si prova adesso a giustapporre i regoli risulta un' impresa del tutto impossibile.

In tal caso, il metodo delle coordinate cartesiane dovrebbe venir scartato e sostituito da un altro che non presupponga la validità della geometria euclidea per i corpi rigidi.

Siamo quindi nel caso delle geometrie non euclidee e come disse lo stesso Einstein, fu il lavoro più difficile della sua carriera di teorico a causa delle difficoltà matematiche da superare, poiché si trattava di far convergere concetti di geometria euclidea in uno spazio che poteva non esserlo.

Le basi matematiche erano state esplorate in precedenza dal lavoro di Lobacevskij, Bolyai e Gauss, che avevano dimostrato la contingenza del quinto postulato di Euclide (enunciabile nella forma di Playfair con l'affermazione due rette parallele restano sempre equidistanti); inoltre il formalismo per uno spazio non-euclideo era stato sviluppato da Riemann, studente di Gauss. Tale formalismo era stato messo da parte come non applicabile alla realtà, fino all'introduzione appunto della relatività generale.

Questa novità presuppone una matematica quindi adeguata e infatti

Fig 18 Carl Friederich Gauss         v 1777-1855

proprio in questo periodo venne introdotto il cosiddetto tensore metrico, che riguarda ogni spazio ed è determinato dalla distribuzione di materia ed energia e serve nella misura della distanza tra due punti qualsiasi.

Conseguenze della Relatività Generale e verifiche sperimentali

Tali scoperte furono verificate empiricamente anche se con minor numero di corroborazione della relatività ristretta. Famosissimo poi fu l'esperimento per dimostrare la deflessione dei raggi luminosi per effetto gravitazionale, in cui il già affermato scienziato inglese Sir Eddington, nel 1919 organizzò una spedizione di astrofisici per andare ad analizzare i dati di alcune stelle, durante l'eclissi totale di sole. In quell'esperienza fu verificata sperimentalmente che i raggi al passaggio del sole si deflettevano e la posizione delle stelle risultava dunque apparentemente diversa.

Altre prove sperimentali soddisfacenti furono:

1- lo spostamento verso il rosso (red shift) gravitazionale : Il redshift è la prova più concreta ed evidente finora degli effetti gravitazionali. Quando una radiazione elettromagnetica si allontana da un campo gravitazionale, specie se questo è sufficientemente intenso, consuma parte della sua energia. La sua perdita di energia si manifesta attraverso una diminuzione di frequenza, cioè aumenta in modo inversamente proporzionale la sua lunghezza d'onda.  (spostamento verso il rosso). Quindi se noi analizziamo lo spettro di una galassia e vediamo che esso tende verso il rosso, essa si allontana, se invece è verso il blu significa che si avvicina. Tra il 1910 e il 1925 si scoprì che le righe degli spettri delle galassie sono sempre spostate verso il rosso. Edwin Powell Hubble dimostrò che lo spostamento delle righe spettrali verso il rosso è tanto più marcato quanto più la galassia è lontana dal Sistema solare.

Il movimento di allontanamento delle altre galassie dalla nostra è detto moto di recessione e la relazione tra velocità di allontanamento e distanza della galassia dalla Terra è espressa dalla legge di Hubble

V= H d

Dove:

v è la velocità di allontanamento espressa in km/s

H è la costante di Hubble circa 74,2 km/s/Mpc (come rilevato quest'anno dal satellite Hubble. Nasa)

d è la distanza dalla Terra espressa in Mpc

La legge di Hubble fornisce un metodo per determinare la distanza delle galassie più lontani.

Indipendentemente alla costante di Hubble, l'allontanamento rilevato è uniforme, qualunque direzione intorno a noi venga presa in esame, al punto che sembra che la nostra Galassia si trovi al centro del sistema in espansione. Le galassie quindi si allontanano non solo dalla nostra Galassia ma anche l'una dall'altra.

L'espansione era già stata ipotizzato in precedenza, ma le osservazioni di Hubble hanno fornito la prova di validità di questa ipotesi, secondo la quale le galassie non si espandono occupando regioni dello spazio preesistenti e vuote: è lo stesso spazio che si espande trascinando in questo suo movimento le galassie.

La teoria della relatività generale rappresenta la base della moderna cosmologia e astrofisica, poiché ci dice come l'universo si evolve nel tempo e come si muovono  gli astri all'interno di esso.

2- spostamento del perielio di mercurio : mercurio è il pianeta più vicino al sole e la sua orbita deve risentire più di ogni altro pianeta dell'incurvamento spaziale generato dal campo gravitazionale solare. Già da metà '800 era nota una piccola variazione (43' per secolo) del
perielio di mercurio secondo la quale il pianeta non percorre una ellisse chiusa, bensì compie
un'orbita a 'rosetta'. Questa anomalia non trovava una spiegazione nell'ambito della teoria newtoniana. All'interno della teoria della relatività generale questo fenomeno trova una spiegazione nell'incurvamento spaziale che in prossimità del sole è apprezzabile.

3- deviazione della posizione apparente delle stelle nelle vicinanza della superficie solare : 
Se lo spazio è incurvato dal campo gravitazionale del sole, un raggio di luce che passa nelle sue
vicinanze non può compiere un cammino rettilineo (come se lo spazio fosse euclideo). Le stelle posizionate (apparentemente) nei pressi della superficie del sole devono allora avere la loro luce deviata dal campo gravitazionale solare. Il sole funge allora da 'lente gravitazionale' e le stelle appaiono spostate rispetto alla posizione che hanno quando sono posizionate lontane dal sole. Questo fenomeno è verificabile solo durante le eclissi solari totali.

4- onde gravitazionali : come ogni campo, anche il campo gravitazionale deve propagarsi nello spazio con una velocità finita. Einstein stesso ipotizzò che anche il campo gravitazionale si propaga per onde gravitazionali alla velocità della luce.  Le onde gravitazionali possono essere immaginate come le 'increspature' del campo gravitazionale. Le onde gravitazionali sono state anche quantizzate ed è stata fatta l'ipotesi che esse viaggino sotto forma di particelle, i gravitoni, così come le onde elettromagnetiche viaggiano sotto forma di fotoni. Le onde gravitazionali sono molto deboli per cui a ancora oggi non sono state rivelate con esattezza.