Lavoro ed energia

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dove L è il lavoro, F il vettore forza,  S il vettore spostamento, α l'angolo compreso tra i due vettori.

Poiché L=FS, L=Nm=joule; il lavoro di un joule è cioè quello compiuto da una forza costante di 1 N quando il punto di applicazione della forza subisce lo spostamento di 1 m nella stessa direzione della forza.

Se a un corpo di massa m sul piano si applica una forza F, esso accelererà con accelerazione direttamente proporzionale alla forza stessa, e si muoverà sl piano. Si supponga che:

il corpo di massa m abbia una velocità iniziale V≠0 m/s;

il vettore F sia costante (si produrrà quindi un'accelerazione a costante);

il vettore S sia parallelo a F, ossia che il corpo si sposti nella stessa direzione della forza.

Per definizione è:

L = FS cos α

Poiché l'angolo compreso tra i due vettori F e S è nullo (avendo i due vettori la stessa direzione), e ricordando che, in modulo, F=ma e S=1/2at+Vt, è:

L = FS cos 0 = FS = ma(1/2at+Vt)

Ricavando t dall'equazione V(t) = at+V del rettilineo uniformemente accelerato si ha:

L = ma(1/2at+Vt) = ma(1/2a (Vf - V)/a + V (Vf - V)/a) =

= ma (1/2 (Vf - V)/a + V (Vf - V)/a) = m(1/2 (Vf - V)  + V (Vf - V)) =

= m(1/2 (Vf+V-2VfV) + VfV - V) = m(1/2Vf + 1/2V - V) =

= m(1/2Vf - 1/2V) = 1/2mVf - 1/2mV

Si ha quindi che:

L = 1/2mVf - 1/2mV

dove L è il lavoro compiuto da un corpo di massa m con velocità iniziale V e velocità finale Vf. 

In generale, un corpo possiede energia se è in grado di compiere un lavoro; l'unità di misura dell'energia è il joule (N*m).

ENERGIA CINETICA

L'energia cinetica è l'energia posseduta da un corpo in movimento in grado di compiere un lavoro per effetto della velocità posseduta.

In generale, per un corpo di massa m dotato di velocità V≠0 m/s vale l'espressione:

	Ec = 1/2mV

che esprime l'energia cinetica Ec posseduta da un qualsiasi corpo di massa m avente velocità V≠0 m/s.

Si potrà anche scrivere:

L = Ecf - Eci = ∆Ec

dove Ecf  e Eci sono le energie cinetiche possedute da un corpo in due diversi istanti t.

Tale relazione esprime il teorema dell'energia cinetica: il lavoro compiuto dalla risultante delle forze applicate a un corpo lungo una traiettoria AB è uguale alla variazione dell'energia cinetica subita dal corpo nel passare da A a B.

Si avrà in conclusione:

	L = ∆Ec = Ecf - Eci = 1/2mVf - 1/2mV

ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE

Un corpo che si trova a una determinata altezza h rispetto ad un sistema di riferimento ed è fermo possiede un'energia di tipo posizionale o potenziale, legata cioè alla sua posizione.

L'energia potenziale gravitazionale è l'energia posizionale posseduta da un corpo fermo posto a una quota h rispetto ad un prefissato sistema di riferimento; il termine gravitazionale indica che tale energia è uguale al lavoro del peso del corpo, cioè alla forza gravitazionale con cui il corpo è attratto dalla Terra.

- Il lavoro della forza peso

● Si supponga che un corpo di massa m si trovi in un punto A con velocità V=0 m/s e che, in virtù della propria forza peso, cada liberamente fino al punto B. Stabilita come quota di riferimento il suolo, nel punto A il corpo si trova alla quota hA  (da A a terra), nel punto B alla quota hB (da B a terra).

Si voglia calcolare il lavoro compiuto dalla forza peso del corpo di massa m che, come supposto, cade liberamente dal   punto A al punto B; lo spazio percorso sarà evidentemente hA-hB e si avrà quindi: L = F*S= mgS cos 0 = mgS = mg(hA-hB) = mghA-mghB.

● Si supponga ora di portare il corpo da A a B lungo un percorso diverso. Si consideri il seguente sistema:

P// m

A

hC

C B

P

hB hA

Il triangolo ABC è un triangolo rettangolo, hA è la distanza tra il punto A e il suolo, hB è la distanza tra il punto B e il suolo, hC è la distanza tra A e C (cioè l'ipotenusa di ABC).

Si lasci ad esempio scivolare il corpo, con V≠0 m/s, lungo AC e lo si porti quindi la C a B. In questo caso, volendo calcolare il lavoro compiuto dalla forza peso, si avrà:

L = L_AC + L_CB = P AC + P * CB = mg cos α AC + mg cos 90 = mg cos AC = mg AB =

= mghA - mghB.

Si deduce che il lavoro compiuto dalla forza peso agente su un corpo, quando questo deve spostarsi da un punto A a un punto B, è indipendente dal percorso compiuto dal corpo; il lavoro dipende invece dal dislivello ∆h, cioè dalla posizione (quota) iniziale e da quella finale del corpo stesso.

- Calcolo dell'energia potenziale gravitazionale

Se un corpo di peso P=mg cade liberamente coprendo una distanza h, la sua energia potenziale gravitazionale U è il lavoro della forza peso quando il corpo copre h:

	L = mgh U = mgh

Al variare della posizione occupata dal corpo, l'energia potenziale gravitazionale assume valori diversi. In due punti A e B, si avrà rispettivamente U_A=mgh_A e U_B=mgh_B. Il lavoro compiuto dalla forza peso quando il corpo si sposta da A a B sarà dunque:

	L = mghA - mghB = UA - UB = - ∆U

ENERGIA MECCANICA

- Conservazione dell'energia meccanica in assenza di forze dissipative

Siano A e B le due posizioni occupate da un corpo durante il movimento, Eci ed Ecf rispettivamente l'energia cinetica in A e in B, Ui e Uf rispettivamente l'energia potenziale gravitazionale negli stessi punti. Le due relazioni L=∆Ec e L=-∆U dovranno valere contemporaneamente, e si avrà perciò:

	∆Ec = -∆U Ecf - Eci = Ui - Uf Eci + Ui = Ecf + Uf = cost = E

con E = energia meccanica. L'equazione esprime il principio di conservazione dell'energia meccanica in assenza di forze dissipative:

In assenza di forze dissipative, l'energia meccanica E di un corpo si conserva durante il moto, essendo l'energia meccanica la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale gravitazionale che il corpo possiede in un qualsiasi punto del moto:

Ei = Ef

- Conservazione dell'energia meccanica in presenza di forze dissipative

In sistemi in cui agiscono forze dissipative, l'energia meccanica iniziale Ei sarà maggiore dell'energia meccanica finale Ef, poiché una parte dell'energia posseduta inizialmente dal corpo sarà utilizzata per vincere la forza di attrito e trasformata quindi in calore. Si avrà:

Ei = Ef + |La|

dove La è il lavoro compiuto dalle forze di attrito, da sommare a Ef in valore assoluto