Forze e rotazioni: il momento delle forze

FORZE E ROTAZIONI: IL MOMENTO DELLE FORZE

Supponiamo che su un corpo rigido vincolato da un perno agisca una forza F a distanza d dal perno e che questa forza venga fatta agire via via con le 4 direzioni diverse rappresentate in figura: siccome è "inchiodato" dal perno, il corpo rigido non potrà  traslare (= muoversi parallelamente a se stesso) in direzione della forza applicata e si limiterà dunque a ruotare.

Fig. 2.3.1

L'equilibrio per le traslazioni è chiaramente garantito dalle forze di reazione vincolare generate dal perno (e lì applicate) che saranno sempre uguali e contrarie alle forze attive F applicate via via nelle quattro direzioni scelte: di nuovo viene evidenziato il carattere adattativo delle forze di reazione vincolare (cambiano direzione e verso a seconda delle forze attive F applicate. Esercizio: disegna sulla figura le 4 forze di reazione R).

In quale dei 4 casi indicati la forza F avrà il suo massimo effetto rotatorio?

È lecito attendersi che questo effetto aumenti se aumenta F e pure che la rotazione intorno al perno sia tanto più facile quanto più F è applicata lontano dal perno (l'effetto rotatorio aumenta se aumenta distanza d: nelle porte - che ruotano attorno ai cardini - la maniglia è collocata il più lontano possibile dai cardini stessi); dovrebbe essere però chiaro dalla figura che, quando la forza F è applicata lungo la congiungiente tra perno e forza stessa, l'effetto rotatorio diventa nullo:

ci si prospetta dunque l'idea che l'effetto rotatorio delle forze non dipenda solo dall'intensità della forza e dalla sua distanza d dal perno ma anche dall'angolo che la forza F forma con la congiungente perno-forza.

Fra le 4 forze disegnate in figura, poi, quella con maggiore effetto rotatorio è quella diretta a 90° dalla linea perno-forza.

Possiamo far confluire le tre considerazioni precedenti circa l'effetto rotatorio delle forze in una nuova grandezza fisica detta momento della forza M così definito:

M = F·d·sin(q (2.3.1)

ove q è l'angolo tra la forza F e la linea perno-forza.

Il momento M definito con (2.3.1) riassume efficacemente tutto quanto detto sopra: infatti M cresce se cresce F, cresce se aumenta d ed è massimo se l'angolo q è di 90° (poiché la funzione seno è massima - e vale 1 - quando l'angolo è 90°). L'origine del termine sin(q nella formula (2.3.1) è spiegato meglio nella figura seguente: se la forza F non è ortogonale alla congiungente perno-forza, la scompongo in direzione ortogonale (ottenendo F_ort) e parallela (ottenendo F_par); F_par non provoca nessuna rotazione perché agisce lungo la direzione perno-forza, per cui l'effetto rotatorio di F è tutto dovuto alla sua componente F_ort  ortogonale alla linea perno-forza.

Ma quanto vale F_ort?

Dalla figura appare chiaro che

F_ort = F sin(q (2.3.2)

Si usa dunque F sin (q), e non semplicemente F, perché di F l'unica componente a provocare rotazione è quella ortogonale e vale proprio F sin(q

Dalla figura appare evidente che la distanza b tra il perno e la retta di azione della forza (distanza usualmente detta "braccio della forza") vale

b = d sin(q (2.3.3)

La formula (2.3.1) può dunque essere riscritta come

M = F d sin(q) = F b               (2.3.4)

Da questa formula è evidente che le unità di misura per il momento delle forze sono N m oppure Kg_p m.

Il momento M di una forza F può dunque ottenersi in tre modi equivalenti:

forza per distanza perno-forza per seno dell'angolo tra forza e retta perno-forza

forza per distanza per componente della forza ortogonale alla retta perno-forza

forza per braccio

Dei tre modi quello meno ambiguo è il primo ed è quello che useremo.

Il momento di una forza è un vettore ed ha bisogno per essere completamente definito anche di una direzione ed un verso. La (2.3.1) serve a determinare il modulo di M, mentre per direzione e verso si ragiona in questo modo:

la direzione del vettore momento è sempre ortogonale al piano ove avviene la rotazione ed il verso è quello che segna il pollice della mano destra le cui dita si chiudono seguendo la rotazione

Poiché nei nostri semplici esempi la rotazione avviene sempre nel piano del foglio di carta, la direzione del vettore momento sarà quella ortogonale al foglio; su questa direzione stabiliremo il verso entrante nel foglio se la rotazione causata dalla forza è oraria e uscente dal foglio se la rotazione è antioraria.

Esempio:

La sbarra della figura 2.3.2 è sottoposta ad una forza di 200 N alla distanza di 2 metri dal perno e con un angolo di 30° rispetto alla retta perno-forza. Calcolare il momento M della forza e dire se è diretto fuori o dentro il foglio.

M = 200 N 2 m sin(30°) = 200 0,5 N m = 200 N m. Verso uscente dal foglio (antiorario).

NOTA BENE:

Perché quando calcoliamo il momento delle forze per oggetti che ruotano attorno ad un perno non teniamo conto anche delle forze di reazione vincolare R generate dal perno stesso?

Riferendoci alla figura 2.3.2 e all'esempio sopra, proviamo a calcolare il momento della forza di reazione R:

R dovrà essere uguale e contraria alla forza attiva F, poiché i perni garantiscono da soli l'equilibrio traslazionale, e dunque varrà 200 N.

La distanza fra la forza di reazione R ed il perno vale però zero poiché R è applicata direttamente sul perno.

Dunque il momento di R dato da (2.3.1) vale zero.

È questo il motivo per il quale, esaminando un corpo rotante attorno ad un perno, si calcola il momento delle sole forze attive.

Esercizio: la sbarra di Fig. 2.3.3 è imperniata e sottoposta a tre forze aventi queste caratteristiche

F1 = 50 N, 90° con direzione perno-forza, 0,1 m da perno;

F2 = 10 N, 60° con direzione perno-forza, 2,5 m da perno;

F3 = 30 N, 30° con direzione perno-forza., 3 m da perno.

Trovare il momento totale agente sulla sbarra.

Notiamo che F2 e F3 hanno entrambe momenti antiorari (uscenti dal foglio) mentre F1 ha momento orario (entrante nel foglio.

M1= momento orario di F1 = 50·0,1·sin(90°) = 5 N·m

M2= momento antiorario di F2 = 10·2,5·sin(60°) = 10·2,5·0,8 = 20 N·m

M3= momento antiorario di F3 = 30·3·sin(30°) = 30·3·0,5 = 45 N·m

Momento totale orario = 5 N·m

Momento totale antiorario = 65 N·m

Momento totale generale = 60 N·m antiorario.

La sbarra sottoposta alle tre forze si muoverà dunque in verso antiorario.

OSSERVAZIONE:

nonostante delle tre forze F1 fosse le più grande (50 N), ai fini della rotazione globale è quella che influiva di meno (soli 5 N·m) perché agiva molto più vicino delle altre al perno. È questa una riprova che  il momento di una forza cresce con la distanza dal perno come esplicitato nella (2.3.1).

IL MOMENTO DELLE COPPIE DI FORZE

Chiamiamo coppia di forze due forze uguali ed opposte che agiscano su due punti diversi di un corpo esteso.

Già intuitivamente riusciamo ad immaginare che un corpo come quello in figura sottoposto ad una coppia di forza si mette a ruotare.

Alla coppia di forze sarà dunque utile associare la grandezza momento.

Se F è il modulo di una delle forze (l'altra forza varrà -F) e tra le rette di applicazione delle due forze c'è una distanza d (detta "braccio" della coppia), il momento si calcola in questo modo:

M = F d                       (2.3.1.1)

Anche alle coppie di forze si usa attribuire un verso orario o antiorario a seconda della rotazione che causano nei corpi.